已知△ABC中,AB=a,AC=b.对于平面ABC上任意一点O,动点P满足OP=OA+λa+λb,λ∈[0,+∞).试问动点P的轨迹是否过某一个定点?说明理由.
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已知△ABC中,AB=a,AC=b.对于平面ABC上任意一点O,动点P满足OP=OA+λa+λb,λ∈[0,+∞).试问动点P的轨迹是否过某一个定点?说明理由.
题型:不详
难度:
来源:
已知△ABC中,
AB
=
a
,
AC
=
b
.对于平面ABC上任意一点O,动点P满足
OP
=
OA
+λ
a
+λ
b
,λ∈[0,+∞).试问动点P的轨迹是否过某一个定点?说明理由.
答案
以AB、AC为邻边作▱ABDC,设对角线AD、BC交于点E,
AE
=
1
2
AD
=
1
2
(
a
+
b
).
由
OP
=
OA
+λ
a
+λ
b
得到
OP
-
OA
=
AP
=2λ•
1
2
(
a
+
b
)
=2λ
AE
,λ∈[0,+∞),
∴
AP
与
AE
共线.
由λ∈[0,+∞)知道动点P的轨迹是射线AE,所以必过△ABC的重心.
举一反三
已知椭圆
C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
3
3
,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C
1
的短半轴长为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C
1
的方程;
(2)设椭圆C
1
的左焦点为F
1
,右焦点为F
2
,直线l
1
过点F
1
,且垂直于椭圆的长轴,动直线l
2
垂直于l
1
,垂足为点P,线段PF
2
的垂直平分线交l
2
于点M,求点M的轨迹C
2
的方程;
(3)过椭圆C
1
的左顶点A做直线m,与圆O相交于两点R、S,若△ORS是钝角三角形,求直线m的斜率k的取值范围.
题型:聊城一模
难度:
|
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在平面直角坐标系xoy中,给定三点
A(0,
4
3
),B(-1,0),C(1,0)
,点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线L经过△ABC的内心(设为D),且与P点的轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围.
题型:广州一模
难度:
|
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已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为
F(-
3
,0)
,右顶点为D(2,0),设点
A(1,
1
2
)
.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;
(3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.
题型:上海
难度:
|
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已知圆P过点
F(0,
1
4
)
,且与直线
y=-
1
4
相切.
(Ⅰ)求圆心P的轨迹M的方程;
(Ⅱ)若直角三角形ABC的三个顶点在轨迹M上,且点B的横坐标为1,过点A、C分别作轨迹M的切线,两切线相交于点D,直线AC与y轴交于点E,当直线BC的斜率在[3,4]上变化时,直线DE斜率是否存在最大值,若存在,求其最大值和直线BC的方程;若不存在,请说明理由?
题型:衢州一模
难度:
|
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动点在圆x
2
+y
2
=1上移动时,它与定点B(4,0)连线的中点轨迹方程是______.
题型:不详
难度:
|
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