在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B(-2,0),P是平面内一动点,直线PA、PB斜率之积为-34.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点(12,0)作直
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在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B(-2,0),P是平面内一动点,直线PA、PB斜率之积为-34.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点(12,0)作直
题型:桂林模拟
难度:
来源:
在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B(-2,0),P是平面内一动点,直线PA、PB斜率之积为-
3
4
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点(
1
2
,0)作直线l与轨迹C交于E、F两点,线段EF的中点为M,求直线MA的斜率k的取值范围.
答案
(Ⅰ)设P点的坐标为(x,y),
依题意,有
y
x-2
-
y
x+2
=-
3
4
(x≠±2)
.(3分)
化简并整理,得
x
2
4
+
y
2
3
=1(x≠±2)
.
∴动点P的轨迹C的方程是
x
2
4
+
y
2
3
=1(x≠±2)
.(4分)
(Ⅱ)依题意,直线l过点
(
1
2
,0)
且斜率不为零,故可设其方程为
x=my+
1
2
,(5分)
由方程组
x=my+
1
2
x
2
4
+
y
2
3
=1
消去x,并整理得
4(3m
2
+4)y
2
+12my-45=0(6分)
设E(x
1
,y
1
),F(x
2
,y
2
),M(x
0
,y
0
),则
∴
y
1
+
y
2
=-
3m
3
m
2
+4
,(7分)
∴
y
0
=
y
1
+
y
2
2
=-
3m
2(3
m
2
+4)
∴
x
0
=m
y
0
+
1
2
=
2
3
m
2
+4
,
∴
k=
y
0
x
0
-2
=
m
4
m
2
+4
,(9分)
①当m=0时,k=0;(10分)
②当m≠0时,
k=
1
4m+
4
m
∵
|4m+
1
m
|=4|m|+
4
|m|
≥8
,∴0
<
1
|4m+
4
m
|
≤
1
8
.
∴
0<|k|≤
1
8
.∴
-
1
8
≤k≤
1
8
且k≠0.(11分)
综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是:-
-
1
8
≤k≤
1
8
.(12分)
举一反三
已知与曲线C:x
2
+y
2
-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点(a>2,b>2),O为原点.
(1)求证:(a-2)(b-2)=2;
(2)求线段AB中点的轨迹方程;
(3)求△AOB面积的最小值.
题型:不详
难度:
|
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圆C:
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ为参数)的普通方程为______,设O为坐标原点,点M(x
0
,y
0
)在C上运动,点P(x,y)是线段OM的中点,则点P的轨迹方程为______.
题型:朝阳区一模
难度:
|
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已知点P是抛物线y=2x
2
+1上的动点,定点A(0,-1),若点M分
PA
所成的比为2,则点M的轨迹方程是______,它的焦点坐标是______.
题型:不详
难度:
|
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设抛物线过定点A(2,0),且以直线x=-2为准线.
(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程;
(2)已知点B(0,-5),轨迹C上是否存在满足
MB
•
NB
=0的M、N两点?证明你的结论.
题型:重庆一模
难度:
|
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(文)A,B是地面上相距1000米两点,在地面上点P处发生爆炸,已知爆炸声音从点P传到点A的时间是传到点B的时间的两倍,则满足上述条件的所有可能的点P的集合是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
题型:宁波模拟
难度:
|
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