设抛物线过定点A(2,0),且以直线x=-2为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程;(2)已知点B(0,-5),轨迹C上是否存在满足MB•NB=0的M、N两点
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设抛物线过定点A(2,0),且以直线x=-2为准线.(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程;(2)已知点B(0,-5),轨迹C上是否存在满足MB•NB=0的M、N两点
题型:重庆一模
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设抛物线过定点A(2,0),且以直线x=-2为准线.
(1)求抛物线顶点的轨迹C的方程;
(2)已知点B(0,-5),轨迹C上是否存在满足
MB
•
NB
=0的M、N两点?证明你的结论.
答案
(1)设抛物线顶点P(x,y),则抛物线的焦点F(2x+2,y),
由抛物线的定义可得
(2x+2-2
)
2
+
y
2
=4.
∴
x
2
4
+
y
2
16
=1.
∴轨迹C的方程为
x
2
4
+
y
2
16
=1(x≠2).
(2)不存在.证明如下:
过点B(0,-5)斜率为k的直线方程为y=kx-5(斜率不存在时,显然不符合题意),
由
y=kx-5
x
2
4
+
y
2
16
=1
得(4+k
2
)x
2
-10kx+9=0,
由△≥0得k
2
≥
9
4
.
假设在轨迹C上存在两点M、N,令MB、NB的斜率分别为k
1
、k
2
,则|k
1
|≥
3
2
,|k
2
|≥
3
2
,显然不可能满足k
1
•k
2
=-1,
∴轨迹C上不存在满足
MB
•
NB
=0的两点.
举一反三
(文)A,B是地面上相距1000米两点,在地面上点P处发生爆炸,已知爆炸声音从点P传到点A的时间是传到点B的时间的两倍,则满足上述条件的所有可能的点P的集合是( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
题型:宁波模拟
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已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆C:x
2
+y
2
=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数2,求动点M的轨迹方程,说明它表示什么曲线.
题型:不详
难度:
|
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动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,圆心P的轨迹为曲线C,过F作曲线C两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M、N.
(1)求曲线C的方程;
(2)求证:直线MN必过定点.
题型:不详
难度:
|
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设P为双曲线
x
2
4
-y
2
=1上一动点,O为坐标原点,M为线段OP的中点,则点M的轨迹方程是______.
题型:上海
难度:
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如图,直线l
1
和l
2
相交于点M,l
1
⊥l
2
,点N∈l
1
.以A,B为端点的曲线段C上的任一点到l
2
的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=
17
,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
题型:不详
难度:
|
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