已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点(a>2,b>2),O为原点.(1)求证:(a-2)(b

已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点(a>2,b>2),O为原点.(1)求证:(a-2)(b

题型:不详难度:来源:
已知与曲线C:x2+y2-2x-2y+1=0相切的直线l分别交x轴、y轴于A(a,0)、B(0,b)两点(a>2,b>2),O为原点.
(1)求证:(a-2)(b-2)=2;
(2)求线段AB中点的轨迹方程;
(3)求△AOB面积的最小值.
答案
(1)∵圆C的方程为:(x-1)2+(y-1)2=1,∴其圆心为(1,1),半径为1依题设直线l:
x
a
+
y
b
=1
,(2分)
由圆C与l相切得:1=
|a+b-ab|


a2+b2
⇒(a-2)(b-2)=2
(4分)
(2)设线段AB中点为M(x,y),由中点坐标公式得





x=
a
2
y=
b
2





a=2x
b=2y
.(6分)
代入(a-2)(b-2)=2可得2(x-1)(y-1)=1(x>1)即为所求的轨迹方程.(8分)
(3)S△AOB=
1
2
ab.由于(a-2)(b-2)=2即ab=-2+2(a+b)
.(10分)a+b≥2


ab
⇒ab-4


ab
+2≥0⇒


ab
≥2+


2
.(11分)当且仅当a=b=2+


2
时,△AOB的面积的最小值为3+2


2
(12分)
举一反三
圆C:





x=1+cosθ
y=sinθ
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PA
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MB


NB
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