一个口袋中装有大小相同的n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球的颜色不同则为中奖.(1)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概

一个口袋中装有大小相同的n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球的颜色不同则为中奖.(1)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概

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一个口袋中装有大小相同的n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球,一次摸奖从中摸两个球,两个球的颜色不同则为中奖.
(1)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为P.试问当n等于多少时,P的值最大?
(2)在(1)的条件下,将5个白球全部取出后,对剩下的n个红球全部作如下标记:记上i号的有i个(i=1,2,3,4),其余的红球记上0号,现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号,求ξ的分布列,期望和方差.
答案
(1)一次摸奖从n+5个球中任取两个,有Cn+52种方法.它们是等可能的,其中两个球的颜色不同的方法有Cn1C51种,
一次摸奖中奖的概率P=
C1n
C15
C2n+5
=
10n
(n+5)(n+4)
        …(2分)
设每次摸奖中奖的概率为p(0<p<1),三次摸奖中(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率,
P=
C13
×p×(1-p) 2
=3p3-6p2+3p
∴P′=9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1),
由此知P在(0,
1
3
)
上为增函数,P在(
1
3
,1)
上为减函数,…(4分)
∴当p=
1
3
时P取得最大值,即p=
10n
(n+5)(n+4)
=
1
3

解得n=20或n=1(舍去),则当n=20时,三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率最大.…(6分)
(2)由(1)可知:记上0号的有10个红球,从中任取一球,有20种取法,它们是等可能的故ξ的分布列是
举一反三
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ξ01234
P
1
2
1
20
2
20
3
20
4
20
从甲口袋内摸出1个白球的概率是
1
3
,从乙口袋内摸出1个白球的概率是
1
2
,如果从两个口袋内摸出一个球,那么
5
6
是(  )
A.2个球不都是白球的概率
B.2个球都不是白球的概率
C.2个球都是白球的概率
D.2个球恰好有一个球是白球的概率
从4张互不相同的彩色照片与3张互不相同的黑白照片中任取2张,至少有一张黑白照片的概率(  )
A.
2
7
B.
5
7
C.
6
7
D.
3
4
袋中有6张卡片,编号分别是1,2,3,4,5,6,现从袋中每次取一张卡片,取后放回,连续抽取三次,记三次中号码最大的数为a,则概率P(a=4)的值为(  )
A.
C23
C36
B.An,Bn
C.
43-33
63
D.
43-33
C13
63
A33
口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球,每一次从袋中摸出2个球,若颜色不同,则为中奖.每次摸球后,都将摸出的球放回口袋中,则3次摸球恰有1次中奖的概率为(  )
A.
80
243
B.
100
243
C.
80
729
D.
100
729
学校文娱队中的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有5人,会跳舞的有7人,现从中随机选出3人.记X为选出的3人中既会唱歌又会跳舞的人数,且P(X≥1)=
8
15

(Ⅰ)求学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数;
(Ⅱ)求选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞的概率.