已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0,求:(1)当a∈{-2,-1,0,1,2},b∈{0,1,2,3}时,方程x2+2ax+b2=0有实根的概率;(

已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0,求:(1)当a∈{-2,-1,0,1,2},b∈{0,1,2,3}时,方程x2+2ax+b2=0有实根的概率;(

题型:不详难度:来源:
已知关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0,求:
(1)当a∈{-2,-1,0,1,2},b∈{0,1,2,3}时,方程x2+2ax+b2=0有实根的概率;
(2)当a∈[0,2],b∈[0,3]时,方程x2+2ax+b2=0有实根的概率.
答案
方程有实根时,△=(2a)2-4b2≥0,即a2≥b2.记方程x2+2ax+b2=0有实根的事件为A.
(1)当a∈{-2,-1,0,1,2},b∈{0,1,2,3}时,a与b的所有组合为(第一个数为a的值,第二个数为b的值):
(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-2,3),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(-1,3),(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),共20组,即基本事件有20个,由于a在{-2,-1,0,1,2}里取是随机的,b在{0,1,2,3}里取是随机的,所以上述20个事件是等可能性的.
又因为满足条件a2≥b2的有:(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,0),(-1,1),(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(2,2)共11个,即事件A包含了11个基本事件,
所以P(A)=
11
20

所以,方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为
11
20

(2)设点M的坐标为(a,b),由于a∈[0,2],b∈[0,3],所以,所有的点M对构成坐标平面上一个区域(如图6中的矩形OABC),即所有的基本事件构成坐标平面上的区域OABC,其面积为2×3=6.
由于a在[0,2]上随机抽取,b在[0,3]上随机抽取,
所以,组成区域ABCD的所有基本事件是等可能性的.
又由于满足条件0≤a≤2,且0≤b≤3,且a2≥b2,即a≥b的平面区域如图6中阴影部分所示,其面积为
1
2
×2×2=2,
所以,事件A组成平面区域的面积为4,所以P(A)=
2
6
=
1
3

所以,方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为
1
3

举一反三
将4本不同的书全发给3名同学,则每名同学至少有一本书的概率为(  )
A.
8
9
B.
4
27
C.
4
9
D.
5
9
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从6名男同学,5名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为______.
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袋中有红色、黄色、绿色球各1个,每次任取1个,有放回地抽取三次,球的颜色全相同的概率是(  )
A.
2
27
B.
1
9
C.
2
9
D.
1
27
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在△ABC中,已知a:b:c=3:4:5,在边AB上任取一点M,则△AMC是钝角三角形的概率为______.
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某班同学利用寒假进行社会实践活动,对[25,55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
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组数分组低碳族人数占本组的频率
第一组[25,30)1200.6
第二组[30,35)195p
第三组[35,40)1000.5
第四组[40,45)a0.4
第五组[45,50)300.3
第六组[50,55)150.3