在区间[0,4]内随机取两个数a、b,则使得函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为______.

在区间[0,4]内随机取两个数a、b,则使得函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为______.

题型:不详难度:来源:
在区间[0,4]内随机取两个数a、b,则使得函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为______.
答案
∵两个数a、b在区间[0,4]内随地机取,
∴以a为横坐标、b为纵坐标建立如图所示直角坐标系,
可得对应的点(a,b)在如图的正方形OABC及其内部任意取,
其中A(0,4),B(4,4),C(4,0),O为坐标原点
若函数f(x)=x2+ax+b2有零点,则
△=a2-4b2≥0,解之得a≥2b,满足条件的点(a,b)在直线a-2b=0的下方,
且在正方形OABC内部的三角形,其面积为S1=
1
2
×4×2
=4
∵正方形OABC的面积为S=4×4=16
∴函数f(x)=x2+ax+b2有零点的概率为P=
S1
S
=
4
16
=
1
4

故答案为:
1
4

举一反三
在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得函数f(x)=


1-x
+


x+3
-1有意义的概率为______.
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随机向边长为2的正方形ABCD中投一点P,则点P与A的距离不小于1且使∠CPD为锐角的概率是______.
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在区间[-2,4]上随机地取一个数x,则满足|x|≤3的概率为______.
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在区域





0≤x≤1
0≤y≤1
内任意取一点P(x,y),则x2+y2>1的概率是(  )
A.
π
2
-1
B.
π
4
-
1
2
C.1-
π
4
D.
π
4
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在区间[0,1]上随机地任取两个数a,b,则满足a2+b2
1
4
的概率为______.
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