某电台“挑战主持人，’节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得-10

题型：汕头一模难度：来源：

某电台“挑战主持人，’节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个题目，回答正确得20分，回答不正确得-10分，总得分不少于30分即可过关．如果一位挑战者回答前两题正确的概率都是

4

5

，回答第三题正确的概率为

3

5

，且各题回答正确与否相互之间没有影响．记这位挑战者回答这三个问题的总得分为ξ．
（1）这位挑战者过关的概率有多大？
（2）求ξ的数学期望．

答案

（1）这位挑战者有两种情况能过关：
①第三个答对，前两个一对一错，得20+10+0=30分，
②三个题目均答对，得10+10+20=40分，
其概率分别为P（ξ=30）=

C

12

×

4

5

×

1

5

×

3

5

=

24

125

P（ξ=40）=

4

5

×

4

5

×

3

5

=

48

125

这位挑战者过关的概率为
P（ξ≥30）=P（ξ=30）+P（ξ=40）=

24

125

+

48

125

=

72

125

（2）如果三个题目均答错，得0+0+（-10）=-10分，
如果前两个中一对一错，第二个错，得10+0+（-10）=0分；
前两个错，第三个对，得0+0+20=20分；
如果前两个对，第三个错，得10+10+（-10）=10分；
故ξ的可能取值为-10，0，10，20，30，40
P（ξ=-10）=

1

5

×

1

5

×

2

5

=

2

125

，
P（ξ=0）=

C

12

×

1

5

×

4

5

×

2

5

=

16

125

P（ξ=10）=

4

5

×

4

5

×

2

5

=

32

125

P（ξ=20）=

1

5

×

1

5

×

3

5

=

3

125

P（ξ=30）=

24

125

P（ξ=40）=

48

125

∴ξ的数学期望是：-10×

2

125

+10×

32

125

+20×

3

125

+30×

24

125

+40×

48

125

=

3000

125

=24