标准正态分布的概率密度函数是P(x)=·(x∈R).(1)求证:P(x)是偶函数;(2)求P(x)的最大值;(3)利用指数函数的性质说明P(x)的增减性.

标准正态分布的概率密度函数是P(x)=·(x∈R).(1)求证:P(x)是偶函数;(2)求P(x)的最大值;(3)利用指数函数的性质说明P(x)的增减性.

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标准正态分布的概率密度函数是P(x)=·(x∈R).
(1)求证:P(x)是偶函数;
(2)求P(x)的最大值;
(3)利用指数函数的性质说明P(x)的增减性.
答案
(1)证明略(2)(3)当x<0时,P(x)递增.当x>0时,P(x)递减.
解析
(1)证明 对任意x∈R,有P(-x)=
==P(x),∴P(x)为偶函数.
(2)解 令t=,当x=0时,t=0,et=1.
∵et是关于t的增函数,当x≠0时,t>0,et>1.
∴当x=0,即t=0时,=et取最小值.
∴当x=0时,P(x)=取得最大值.
(3)解 任取x1<0,x2<0,且x1<x2,
,∴.
∴P(x1)<P(x2),即当x<0时,P(x)递增.
又P(x)为偶函数,由偶函数性质得,当x>0时,P(x)递减.
举一反三
设X~N(1,22),试求
(1)P(-1<X≤3);
(2)P(3<X≤5);
(3)P(X≥5).
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成绩(分)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
人数分布
0
0
0
6
15
21
12
3
3
0
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