(12分)设命题p:{x|x2-4ax+3a2<0}(a>0), (1)如果a=1,且p∧q为真时,求实数x的取值范围;(2)若¬p是¬q的充分不必要条件时,求
题型:不详难度:来源:
(12分)设命题p:{x|x2-4ax+3a2<0}(a>0), (1)如果a=1,且p∧q为真时,求实数x的取值范围; (2)若¬p是¬q的充分不必要条件时,求实数a的取值范围. |
答案
(1)实数x的取值范围是{x|2<x≤3}. (2)实数a的取值范围是{a|1<a≤2}. |
解析
试题分析:(1)根据题意可知,命题p,q分别表示一元二次不等式的解集,然后利用且命题为真,得到实数x的取值范围。 (2)根据¬p是¬q的充分不必要条件,表明q是p的充分不必要条件,利用集合的思想来求解得到。 (1) 当a>0时, {x|x2-4ax+3a2<0}={x|(x-3a)(x-a)<0}={x|a<x<3a},如果a=1时,则x的取值范围是{x|1<x<3},而{x|x2-x-6≤0,且x2+2x-8>0}={x|2<x≤3}, 因为p∧q为真,所以有{x|1<x<3}∩{x|2<x≤3}={x|2<x<3}.故实数x的取值范围是{x|2<x≤3}. (2) 若¬p是¬q的充分不必要条件,表明q是p的充分不必要条件.由(1)知,{x|2<x≤3}是{x|a<x<3a}(a>0)的真子集,易知a≤2且3<3a,解得{a|1<a≤2}.故实数a的取值范围是{a|1<a≤2}. 点评:解决该试题的关键是对于命题p,q的正确表示,尤其是含有参数的一元二次不等式不等式的求解,注意根的大小的确定解集,并利用数轴法来得到集合的包含关系进而求解。 |
举一反三
设函数,给出下列四个命题: ①时,是奇函数 ②时,方程只有一个实根 ③的图象关于对称 ④方程至多两个实数根 其中正确的命题的个数是( ) |
已知命题p: 方程有两个大于-1的实数根,已知命题q:关于x的不等式的解集是R,若“p或q”与“” 同时为真命题,求实数a的取值范围(12分) |
给出命题:若函数是幂函数,则函数的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( ) |
已知,若是真命题,则实数的取值范围是_______. |
已知命题,则 |
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