给出以下命题：（1）∃x∈R，使得sinx+cosx＞1；（2）函数f(x)=sinxx在区间(0，π2)上是单调减函数；（3）“x＞1”是“|x|＞1”的充分

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给出以下命题：
（1）∃x∈R，使得sinx+cosx＞1；
（2）函数f(x)=

sinx

在区间(0，

)上是单调减函数；
（3）“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；
（4）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件．
其中是真命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

答案

当x=

时，sinx+cosx=

＞1，故（1）∃x∈R，使得sinx+cosx＞1正确；
∵f(x)=

sinx

，∴f′(x)=

x•cosx-sinx

x-tanx

cosx•x2

，
当x∈(0，

)时，∵cosx＞0，x-tanx＜0，x²＞0，
∴f"（x）＜0，故f（x）在区间(0，

)上单调递减，故（2）正确．
当“x＞1”时是“|x|＞1”成立，但“|x|＞1”时，“x＞1或x＜-1”，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；
在△ABC中，“A＞B”⇔“a＞b”⇔“sinA•2R＞sinB•2R”（其中R为三角形外接圆半径）⇔“sinA＞sinB”，故A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故（4）错误
故选C

举一反三

给出下列命题
①设a、b为非零实数，则“a＜b”是“

＞

”的充分不必要条件；
②命题P：垂直于同一条直线的两直线平行，命题q：垂直于同一条直线的两平面平行，则命题p∨q为真命题；
③命题“∀r∈R，sinr＜1”的否定为“∃x₀∈R，sinx₀＞1”；
④命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的逆否命题为“若x+y＜5，则x＜2且y＜3”．
其中真命题的个数有（　　）

A．4个

B．3个

C．2个

D．1个

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给出下列五个命题：
①若4^a=3，log₄5=b，则log4

=a2-b；
②函数f(x)=0.51+2x-x2的单调递减区间是[1，+∞）；
③m≥-1，则函数y=lg（x²-2x-m）的值域为R；
④若映射f：A→B为单调函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
⑤函数y=e^x的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则f（e³）=3．
其中正确的命题是______（把你认为正确的命题序号都填在横线上）

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对于非零实数a，b，以下四个命题都是成立的：①a+

≠0；②（a+b）²=a²+2ab+b²；③若a²=ab，则a=b
④若|a|=|b|，则a=±b；如果a，b是非零复数，则这四个命题仍然成立的是______（写出所有符合要求的命题的序号）

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（逻辑）下列命题错误的是（　　）

A．命题“若lgx=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则lgx≠0”

B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题

C．命题p：∃x∈R，使得sinx＞1，则¬p：∀x∈R，均有sinx≤1

D．“x＞2”是“

＜

”的充分不必要条件

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设函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2010|（x∈R）四位同学研究得出如下四个命题，其中真命题的有（　　）个
①f（x）是偶函数；
②f（x）在（0，+∞）单调递增；
③不等式f（x）＜2010×2011的解集为∅；
④关于实数a的方程f（a²-3a+2）=f（a-1）有无数解．

A．1

B．2

C．3

D．4

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