有如下列命题:①x2+2x2+1的最小值为2;②lgx+logx10的最小值是2;③sin2x+4sin2x的最小值是4;④若x>0,y>0且2x+8y=1,则

有如下列命题:①x2+2x2+1的最小值为2;②lgx+logx10的最小值是2;③sin2x+4sin2x的最小值是4;④若x>0,y>0且2x+8y=1,则

题型:不详难度:来源:
有如下列命题:
x2+2


x2+1
的最小值为2;
②lgx+logx10的最小值是2;
sin2x+
4
sin2x
的最小值是4;
④若x>0,y>0且
2
x
+
8
y
=1
,则xy的最小值是64;
⑤若a>0,b>0,a+b=1,则(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2
的最小值是8;
写出所有正确命题的序号______.
答案
x2+2


x2+1
=
x2+1+1


x2+1
=


x2+1
+
1


x2+1
≥2
,当且仅当


x2+1
=
1


x2+1
,即x2+1=1,所以x=0时取等号,所以①正确.
②当0<x<1时,lgx>0,所以②错误.
sin2x+
4
sin2x
≥2


sin2x⋅
4
sin2x
=2


4
=4
,当且仅当sin2x=
4
sin2x
,即sin2x=2取等号,显然不成立,所以③错误.
④由
2
x
+
8
y
=1
,得1=
2
x
+
8
y
≥2


2
x
8
y
=2


16
xy
,解得xy≥64,所以xy的最小值是64,所以④正确.
⑤因为(a+
1
a
)2+(b+
1
b
)2
=(2


a⋅
1
a
)
2
+(2


b⋅
1
b
)
2
=4+4=8
,当且仅当a=
1
a
且b=
1
b
,即a=1,b=1时取等号,但a+b=2与a+b=1矛盾,所以⑤不正确.
故答案为:①④.
举一反三
下列命题中正确的是(  )
A.若


AC
=


BD
,则ABCD一定是平行四边形
B.模相等的两个平行向量是相等向量
C.若


a


b
都是单位向量,则


a
=


b


a
=-


b
D.若两个向量共线,则它们是平行向量
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下面给出的4个命题:
①已知命题p:∀x1,x2∈R,
f(x1)-f(x2)
x1-x2
<0
,则¬p:∃x1,x2∈R,
f(x1)-f(x2)
x1-x2
≥0

②函数f(x)=2-x-sinx在[0,2π]上恰好有2个零点;
③对于定义在区间[a,b]上的连续不断的函数y=f(x),存在c∈(a,b),使f(c)=0的必要不充分条件是f(a)f(b)<0;
④对于定义在R上的函数f(x),若实数x0满足f(x0)=x0,则称x0是f(x)的不动点.若f(x)=x2+ax+1不存在不动点,则a的取值范围是(-1,3).
其中正确命题的个数是(  )
A.1B.2C.3D.4
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已知命题p:f(x)=x2-4mx+4m2+2在区间[-1,3]上的最小值等于2;命题q:不等式|x|+|x-1|≥m对任意x∈R恒成立.如果上述两个命题中有且仅有一个是真命题,求实数m的取值范围.
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已知命题p:若x+y=5,则x=2且y=3,则命题p的否命题为______.(填“真”或“假”)命题.
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有下列说法:
(1)a>b>0是a2>b2的充要条件;
(2)a>b>0是
1
a
1
b
的充要条件;
(3)a>b>0是a3>b3的充要条件.
则其中正确的说法有(  )
A.0个B.1 个C.2 个D.3 个
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