已知函数f(x)=x1+|x| (x∈R)),给出下列命题:(1)对∀∈R,等式f(-x)+f(x)=0恒成立;(2)函数f(x)的值域为(-1,1);(3)若

已知函数f(x)=x1+|x| (x∈R)),给出下列命题:(1)对∀∈R,等式f(-x)+f(x)=0恒成立;(2)函数f(x)的值域为(-1,1);(3)若

题型:东城区模拟难度:来源:
已知函数f(x)=
x
1+|x|
 (x∈R)),给出下列命题:
(1)对∀∈R,等式f(-x)+f(x)=0恒成立;
(2)函数f(x)的值域为(-1,1);
(3)若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
(4)函数g(x)=f(x)-x在R上有三个零点.
其中正确命题的序号为______(把所有正确命题的序号都填上).
答案
(1)f(-x)=
-x
1+|-x|
=-
x
1+|x|
=-f(x)
,所以(1)成立;
(2)当x=0时f(x)=0,因函数为奇函数,当x>0时,f(x)=
x
1+x
=
1
1+
1
x
,∵
1
x
>0
,∴1+
1
x
>1

0<
1
1+
1
x
<1
,即0<f(x)<1;由对称性知当x<0时,-1<f(x)<0,又f(0)=0,∴函数f(x)的值域为(-1,1);
(3)设x1<x2<0,则f(x1)-f(x2)=
x1
1+|x1|
-
x2
1+|x2|
=
x1+x1|x2|-x2-x2|x1|
(1+|x1|)(1+|x2|)
=
x1-x2
(1+|x1|)(1+|x2|)

∵x1<x2<0,∴
x1-x2
(1+|x1|)(1+|x2|)
<0
,即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在(-∞,0)为单调函数,所以函数在定义域上为单调函数,若x1≠x2,则一定有f(x1)≠f(x2);
(4)当x>0时,由f(x)-x=0得,
x
1+x
-x=0
,此时方程无解,由对称性知,当x<0时,方程也无解,又f(0)=0,∴函数g(x)=f(x)-x在R上有一个零点0,所以④不正确.
故答案为①②③.
举一反三
给出以下五个命题:
①命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定是:“∃x∈R,x2+x+1<0”.
②已知函数f(x)=k•cosx的图象经过点P(
π
3
,1),则函数图象上过点P的切线斜率等于-


3

③a=1是直线y=ax+1和直线y=(a-2)x-1垂直的充要条件.
④函数f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在区间(0,1)上存在零点.
⑤已知向量


a
=(1,-2)
与向量


b
=(1,m)
的夹角为锐角,那么实数m的取值范围是(-∞,
1
2

其中正确命题的序号是______.
题型:芜湖二模难度:| 查看答案
下列命题正确的是(  )
A.“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件
C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D.命题“∃x∈R使得x2+x+1<0”的否定是:“∀x∈R,均有x2+x+1<0”
题型:不详难度:| 查看答案
下列说法正确的是(  )
A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”
B.命题“∃x∈R,使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R,均有x2+x+1<0”
C.在△ABC中,“A>B”是“cos2A<cos2B”的充要条件
D.(x-
1
2x
)
6
的展开式中第三项的系数是-
15
4
题型:黄山模拟难度:| 查看答案
关于函数f(x)=sin2x-(
2
3
)
|x|
+
1
2
,有下面五个结论:
①f(x)是奇函数;
②当x>2012时,f(x)>
1
2
恒成立;
③f(x)的最大值是
3
2

④f(x)的最小值是-
1
2

⑤f(x)在[0,
π
2
]上单调递增.
其中正确结论的序号为______ (写出所有正确结论的序号).
题型:安徽模拟难度:| 查看答案
已知命题:
①函数f(x)=
1
lgx
在(0,+∞)上是减函数;
②已知


a
=(3,4),


b
=(0,-1),则


a


b
方向上的投影为-4;
③函数f(x)=2sinxcos|x|的最小正周期为π;
④函数f(x)的定义域为R,则f(x)是奇函数的充要条件是f(0)=0;
⑤在平面上,到定点(2,1)的距离与到定直线3x+4y-10的距离相等的点的轨迹是抛物线.
其中,正确命题的序号是______.(写出所有正确命题的序号).
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.