对于①,因为f(-x)=-xsin(-x)=xsinx=f(x),f(x)是偶函数,故①正确; 对于②,因为f()=,f()=,而f()≠f(),所以函数的周期不是2π,故②不正确; 对于③,设f(x+π)=(x+π)sin(x+π)=g(x),则g(x)=-(x+π)sinx,g(-x)=(-x+π)sinx,不满足g(-x)=-g(x), 所以g(x)不是奇函数.因为g(x)图象不关于原点对称,所以f(x)的图象不可能关于(π,0)对称,故③不正确; 对于④,因为f"(x)=sinx+xcosx,当x∈[0,]时,f"(x)≥0,所以f(x)在区间[0,]上单调递增, 再结合函数为R上的偶函数,可得在区间[-,0]上单调递减,故④正确. 综上所述,正确的命题是①④ 故选A |