设m、n,是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列四个命题,①若m⊥n,m⊥α,n⊊α,则n∥α; ②若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或
题型:不详难度:来源:
设m、n,是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列四个命题, ①若m⊥n,m⊥α,n⊊α,则n∥α; ②若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α或n⊥β; ③若m⊥β,α⊥β,则m∥α; ④若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β. 其中正确命题的序号是______(把所有正确命题的序号都写上). |
答案
对于①,若m⊥n,m⊥α,即n、α同时与直线m垂直, 可得n⊂α或n∥α,但是已知条件中有n⊊α,所以n∥α成立,故①正确; 对于②,若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,n可在与直线m垂直的平面γ内转动, 必定存在直线m的位置,使它平面α、β都不垂直,故“n⊥α或n⊥β”不成立,故②错误; 对于③,若m⊥β,α⊥β,即m、α同时与平面β垂直,则m∥α或m⊂α,不一定有m∥α,故③错误; 对于④,若m⊥α,则直线m是平面α的法线,同理n⊥β,直线n是平面β的法线, 而m⊥n,说明平面α的法线与β的法线互相垂直,因此“α⊥β”成立,故④正确. 故答案为①④ |
举一反三
已知命题p:x≥3,命题q:x2-5x+4<0,又p且q为真,则x范围为______. |
已知命题p:∃x∈R,使2x+2-x=1;命题q:∀x∈R,都有lg(x2+2x+3)>0.下列结论中正确的是( )A.命题“p∧q”是真命题 | B.命题“p∧-q”是真命题 | C.命题“-p∧q”是真命题 | D.命题“-pv-q”是假命题 |
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设m、n是两条直线,α、β是两个不同平面,下列命题正确的是( )A.若m⊥α,n⊂β,m⊥n,则α⊥β | B.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n | C.若α⊥β,α∩β=m,m⊥n,则n⊥β | D.若α∥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n |
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已知命题p:不等式|x-1|>a的解集为R;命题q:f(x)=在区间(0,+∞)上是增函数.若命题“pVq”为假命题,求实数a的取值范围. |
已知命题P:∃x∈R,使x2-x+a=0;命题Q:函数y=的定义域为R. (1)若命题P为真,求实数a的取值范围; (2)若命题Q为真,求实数a的取值范围; (3)如果P∧Q为假,P∨Q为真,求实数a的取值范围. |
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