我们称离心率e=5-12的椭圆叫做“黄金椭圆”,若x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)为黄金椭圆,以下四个命题:(1)长半轴长a,短半轴长b,半焦距c成等比
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我们称离心率e=5-12的椭圆叫做“黄金椭圆”,若x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)为黄金椭圆,以下四个命题:(1)长半轴长a,短半轴长b,半焦距c成等比
题型:不详
难度:
来源:
我们称离心率
e=
5
-1
2
的椭圆叫做“黄金椭圆”,若
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
为黄金椭圆,以下四个命题:
(1)长半轴长a,短半轴长b,半焦距c成等比数列.
(2)一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形.
(3)以两条通经的4个端点为顶点的四边形为正方形.
(4)P、Q为椭圆上任意两点,M为PQ中点,只要PQ与OM的斜率存在,必有k
PQ
•k
OM
的定值.
其中正确命题的序号为______.
答案
(1)∵离心率
e=
5
-1
2
=
c
a
,不妨设a=2,c=
5
-1
,则b
2
=a
2
-c
2
=
2
5
-2
=ac,∴长半轴长a,短半轴长b,半焦距c成等比数列,故正确;
(2)取A(a,0),B(0,b),焦点F(-c,0),而|BF|
2
+|BA|
2
=b
2
+c
2
+a
2
+b
2
=2a
2
+b
2
,|AF|
2
=(a+c)
2
=a
2
+2ac+c
2
=a
2
+2b
2
+c
2
=2a
2
+b
2
,
∴|BF|
2
+|BA|
2
=|AF|
2
,∴AB⊥BF,∴一个长轴顶点与其不同侧的焦点以及一个短轴顶点构成直角三角形,故正确;
(3)把x=c代入椭圆方程得
c
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
,解得
y=±
b
2
a
=±c.故正确.
(4)设P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),线段PQ的中点M(x
0
,y
0
),
则
x
21
a
2
+
y
21
b
2
=1
,
x
22
a
2
+
y
22
b
2
=1
,将两式相减得
x
21
-
x
22
a
2
+
y
21
-
y
22
b
2
=0
,∴
x
0
a
2
+
y
0
k
PQ
b
2
=0,又
k
OM
=
y
0
x
0
,∴
k
PQ
•
k
OM
=-
b
2
a
2
,为定值.
综上可知:(1)(2)(3)(4)都正确.
故答案为:(1)(2)(3)(4).
举一反三
对于下列命题:
①在△ABC中,若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形;
②已知a,b,c是△ABC的三边长,若a=2,b=5,
A=
π
6
,则△ABC有两组解;
③设
a=sin
2012π
3
,
b=cos
2012π
3
,
c=tan
2012π
3
,则a>b>c;
④将函数
y=2sin(3x+
π
6
)
图象向左平移
π
6
个单位,得到函数
y=2cos(3x+
π
6
)
图象.
其中正确命题的序号是______.
题型:不详
难度:
|
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已知△ABC中A>B,给出下列不等式:
(1)sinA>sinB
(2)cosA<cosB
(3)sin2A>sin2B
(4)cos2A<cos2B
正确结论的序号为______.
题型:不详
难度:
|
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给出下列命题:
①y=tanx在其定义域上是增函数;
②函数
y=|sin(2x+
π
3
)|
的最小正周期是
π
2
;
③
p:
π
4
<α<
π
2
;q:f(x)=log
tanα
x在(0,+∞)内是增函数,则p是q的充分非必要条件;
④函数
y=lg(sinx+
sin
2
x+1
)
的奇偶性不能确定.
其中正确命题的序号是______(把你认为的正确命题的序号都填上)
题型:不详
难度:
|
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给出下列四个命题,其中正确的是( )
①在空间若两条直线不相交,则它们一定平行;
②平行于同一条直线的两条直线平行;
③一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交;
④空间四条直线a,b,c,d,如果a
∥
b,c
∥
d,且a
∥
d,那么b
∥
c.
A.①②③
B.②④
C.③④
D.②③
题型:不详
难度:
|
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给定四个结论:
(1)一个命题的逆命题为真,其否命题一定为真;
(2)若p∨q为假命题,则p、q均为假命题;
(3)x>1的一个充分不必要条件是x>2;
(4)若命题p为“A中的队员都是北京人”,则¬p为“A中的队员都不是北京人”.
其中正确的命题序号是______.
题型:不详
难度:
|
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