已知命题p：任意x∈R，x2+1≥a，命题q：方程x2a+2-y22=1表示双曲线．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若“p且q”为真命题，求实

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已知命题p：任意x∈R，x²+1≥a，命题q：方程

a+2

=1表示双曲线．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

答案

解（1）记f（x）=x²+1，x∈R，则f（x）的最小值为1，…（2分）
因为命题p为真命题，所以a≤f（x）_min=1，
即a的取值范围为（-∞，1]． …（4分）
（2）因为q为真命题，所以a+2＞0，解得a＞-2．…（6分）
因为“p且q”为真命题，所以

a≤1

a＞-2

即a的取值范围为（-2，1]．
…（8分）
说明：第（1）问得出命题p为真命题的等价条件a≤1，给（4分），没过程不扣分，
第（2）问分两步给，得到a＞-2给（2分），得到x∈（-2，1]给（2分），少一步扣（2分）．

举一反三

已知命题P：函数f（x）=lg（ax²-x+

）的定义域为R，命题Q：不等式a＞

x+1

对x∈（0，+∞）均成立，如果“P或 Q”为真命题，“P且Q”为假命题，求实数a的取值范围．

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设a，b，c∈R，有下列命题：
①若a＞0，则f（x）=ax+b在R上是单调函数；
②若f（x）=ax+b在R上是单调函数，则a＞0；
③若b²-4ac＜0，则 a³+ab+c≠0；
④若a³+ab+c≠0，则b²-4ac＜0．
其中，真命题的序号是______．

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给出下列四个命题：
①存在实数α，使sinα•cosα=1；
②f(x)=-2cos(

7π

-2x)是奇函数；
③x=-

3π

是函数y=3sin(2x-

π)的图象的一条对称轴；
④函数y=cos（sinx）的值域为[0，cos1]．
其中正确命题的序号是 ______．

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已知椭圆C₁的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上．
（1）若椭圆C₁过点（

，0）和（0，2），求椭圆C₁的标准方程；
（2）试判断命题“若椭圆C₂：x²+y²=1（在椭圆C₁内）任意一条切线都与椭圆C₁交于两点，且这两点总与坐标原点构成直角三角形，则满足条件的椭圆C₁恒过定点”的真假．若命题为真命题，求出定点坐标，若为假命题，说明理由．

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在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，不正确的命题是 ______．并对你的判断举例说明 ______．

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