①由题意可知点(2,4)在抛物线y2=8x上 故过点(2,4)且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是 i)过点(2,4)且与抛物线y2=8x相切;ii)过点(2,4)且平行与对称轴.①故正确; ②过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点, 若直线AB的斜率不存在,则横坐标之和等于2,不适合. 故设直线AB的斜率为k,则直线AB为y=k(x-1) 代入抛物线y2=4x得,k2x2-2(k2+2)x+k2=0 ∵A、B两点的横坐标之和等于5, ∴=5,k2=,则这样的直线有且仅有两条,故②正确; ③由题意可得:双曲线x2-y2=3的渐近线方程为:y=±x, 所以点(3,1)不是双曲线渐近线上的一点, 所以过点 (3,1)且与双曲线仅有一个公共点的直线有四条,其中两条是过点 (3,1)并且与双曲线相切的直线,另两条过点 (3,1)且平行于渐近线x+y=0的直线.故③错; ④∵双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4, ∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4, 当直线与实轴垂直时, 有3-=1,∴y=2, ∴直线AB的长度是4, 综上可知有三条直线满足|AB|=4,故④正确; ⑤设过点B(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1 (1)当k存在时有 得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0 (1) 当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0, ∴k<设P(x1,y1),Q(x2,y2) ∴x1+x2=又B(1,1)为线段AB的中点 ∴=1 即 =1,∴k=2 当k=2,使2-k2≠0但使△<0 因此当k=2时,方程(1)无实数解 故过点m(1,1)与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在. (2)当x=1时,直线经过点M但不满足条件, 综上,符合条件的直线l不存在.故⑤错. 故答案为:①②④. |