下列是有关直线与圆锥曲线的命题:①过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,这样的直线有2条;②过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于

下列是有关直线与圆锥曲线的命题:①过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,这样的直线有2条;②过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于

题型:不详难度:来源:
下列是有关直线与圆锥曲线的命题:
①过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x有且只有一个公共点,这样的直线有2条;
②过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线有且仅有两条;
③过点(3,1)作直线与双曲线
x2
4
-y2=1
有且只有一个公共点,这样的直线有3条;
④过双曲线x2-
y2
2
=1
的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则满足条件的直线l有3条;
⑤已知双曲线x2-
y2
2
=1
和点A(1,1),过点A能作一条直线l,使它与双曲线交于P,Q两点,且点A恰为线段PQ的中点.
其中说法正确的序号有______.(请写出所有正确的序号)
答案
①由题意可知点(2,4)在抛物线y2=8x上
故过点(2,4)且与抛物线y2=8x只有一个公共点时只能是
i)过点(2,4)且与抛物线y2=8x相切;ii)过点(2,4)且平行与对称轴.①故正确;
②过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,
若直线AB的斜率不存在,则横坐标之和等于2,不适合.
故设直线AB的斜率为k,则直线AB为y=k(x-1)
代入抛物线y2=4x得,k2x2-2(k2+2)x+k2=0
∵A、B两点的横坐标之和等于5,
2(k2+2)
k2
=5,k2=
4
3
,则这样的直线有且仅有两条,故②正确;
③由题意可得:双曲线x2-y2=3的渐近线方程为:y=±
1
2
x,
所以点(3,1)不是双曲线渐近线上的一点,
所以过点 (3,1)且与双曲线仅有一个公共点的直线有四条,其中两条是过点 (3,1)并且与双曲线相切的直线,另两条过点 (3,1)且平行于渐近线x+y=0的直线.故③错;
④∵双曲线的两个顶点之间的距离是2,小于4,
∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4,
当直线与实轴垂直时,
有3-
y2
2
=1,∴y=2,
∴直线AB的长度是4,
综上可知有三条直线满足|AB|=4,故④正确;
⑤设过点B(1,1)的直线方程为y=k(x-1)+1或x=1
(1)当k存在时有





y=k(x-1)+1
x2-
1
2
y
2
=1
得(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0 (1)
当直线与双曲线相交于两个不同点,则必有△=(2k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+2k-3)>0,
∴k<
3
2
设P(x1,y1),Q(x2,y2
∴x1+x2=
2(k-k2)
2-k2
又B(1,1)为线段AB的中点
x1+x2
2
=1 即
2(k-k2)
2-k2
=1,∴k=2
当k=2,使2-k2≠0但使△<0
因此当k=2时,方程(1)无实数解
故过点m(1,1)与双曲线交于两点A、B且M为线段AB中点的直线不存在.
(2)当x=1时,直线经过点M但不满足条件,
综上,符合条件的直线l不存在.故⑤错.
故答案为:①②④.
举一反三
对于△ABC,有如下四个命题:
①若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形
②若sinB=cosA,则△ABC是直角三角形
③若sin2A+sin2B>sin2C,则△ABC是钝角三角形
④若
a
cos
A
2
=
b
cos
B
2
=
c
cos
C
2
,则△ABC是等边三角形
其中正确的命题个数是______.
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下列说法:
①当x>0且x≠1时,有lnx+
1
lnx
≥2

②函数y=ax的图象可以由函数y=2ax(其中a>0且a≠1)平移得到;
③若对x∈R,有f(x-1)=-f(x),则f(x)的周期为2;
④“若x2+x-6≥0,则x≥2”的逆否命题为真命题;
⑤函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称.
其中正确的命题的序号______.
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给定两个命题,P:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立;Q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根;如果P与Q中有且仅有一个为真命题,求实数a的取值范围.
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下列有关命题的说法:
①命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题;
②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a-1)y=a-7相互垂直”的充要条件;
③已知命题p:对任意的x∈R,ax2+2x+1≥0.若命题p是假命题,则实数a的取值范围是[0,1);
④“k=1”是“函数y=cos2kx-sin2kx的最小正周期为π”的充分不必要条件.
其中正确的有______.
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给出下列四个命题:
①“若am2<bm2,则a<b”的逆命题为真;
②若a<-2,则函数f(x)=ax+3在区间[-1,2]上存在零点;
③函数y=2


2
sinxcosx
在[-
π
4
π
4
]上是单调递减函数;
④若lga+lgb=lg(a+b),则a+b的最小值为4.
其中真命题的序号是______.(请把所有真命题的序号都填上).
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