将3k(k为正整数)个石子分成五堆。如果通过每次从其中3堆中各取走一个石子,而最后取完,则称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件,并加以证明。

将3k(k为正整数)个石子分成五堆。如果通过每次从其中3堆中各取走一个石子,而最后取完,则称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件,并加以证明。

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将3k(k为正整数)个石子分成五堆。如果通过每次从其中3堆中各取走一个石子,而最后取完,则称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件,并加以证明。
答案
证明略
解析
分法是和谐的 充分必要条件 是 最多一堆石子的个数不超过k。 
下面设五堆石子的个数分别为a,b,c,d,e(其中)。
“必要性”的证明: 若分法是和谐的,则把a所对应的石子取完至少要取a次,这a次每次都要取走3个石子。如果 ,则,即把a所对应的一堆取完时,需取走的石子多于五堆石子的总数。矛盾。因此最多一堆石子的个数不能超过k。
“充分性”的证明:(数学归纳法)
(1)  当时,满足“” 的分法只能是1,1,1,0,0。显然这样的分法是和谐的。
(2)  假设时,满足“” 的分法是和谐的。
(3)  当时,若,且分法a,b,c,d,e是不和谐的,则分法a-1,b-1,c-1, d, e也是不和谐的。由(2)及必要性的证明,可知

因为,所以
,则有 。这与 矛盾。
,则有 ,从而有,于是有
,这是不可能的。矛盾。
因此当时,分法a,b,c,d,e是和谐的。
举一反三
px-x20>0,q<0,则pq             条件.
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一次函数的图象的交点落在第一象限的
充要条件是        
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若a,b,x,y,则成立的(  )
A 充分不必要条件              B必要不充分条件
C 充要条件                   D既不充分也不必要条件
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指出下列命题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答).
(1)在△ABC中,p:∠A=∠B,q:sinA=sinB;
(2)对于实数x、y,p:x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
(3)非空集合A、B中,p:x∈A∪B,q:x∈B;
(4)已知x、y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,q:(x-1)(y-2)=0.
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已知ab≠0,求证:a+b=1的充要条件是a3+b3+ab-a2-b2=0.
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