设a,b,c分别为△ABC的三内角A,B,C的对边.求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°.
题型:不详难度:来源:
设a,b,c分别为△ABC的三内角A,B,C的对边.求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°. |
答案
证明:充分性:当A=90°时,a2=b2+c2.…(2分) 于是x2+2ax+b2=0⇔x2+2ax+a2-c2=0⇔[x+(a+c)][x+(a-c)]=0, 该方程有两根x1=-(a+c),x2=-(a-c).…(5分) 同样,x2+2cx-b2=0⇔[x+(c+a)][x+(c-a)]=0, 该方程亦有两根x3=-(c+a),x4=-(c-a).…(7分) 显然x1=x3,两方程有公共根.…(8分) 必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根为m,…(9分) 则 | m2+2am+b2=0 (1) | m2+2cm-b2=0 (2) |
| | …(11分) (1)+(2)得m=-(a+c).(m=0舍去).…(13分) 将m=-(a+c)代入(1)式,得[-(a+c)]2+2a•[-(a+c)]+b2=0, 整理得a2=b2+c2.…(15分) 所以A=90°. 故结论成立.…(16分) |
举一反三
“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的______条件. |
(1)已知z的共轭复数是,且z•-3i•z=,求z. (2)已知z是虚数,求证:z+为实数的充要条件是|z|=1. |
已知条件p:a≥3,条件q:a(a-3)≥0,则p是q______条件. |
条件“a≥2”是“a≥3”成立的______ 条件. |
设M={x 题型:x-1|>4},N={x|x2+(a-8)x-8a≤0},命题p:x∈M,命题q:x∈N (Ⅰ)当a=-6时,试判断命题P是命题q的什么条件; (Ⅱ)求a的取值范围,使命题p是命题q的一个必要但不充分条件. |
难度:|
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