（1）已知z的共轭复数是.z，且z•.z-3i•z=101-3i，求z．（2）已知z是虚数，求证：z+1z为实数的充要条件是|z|=1．

题型：不详难度：来源：

（1）已知z的共轭复数是

，且z•

-3i•z=

1-3i

，求z．
（2）已知z是虚数，求证：z+

为实数的充要条件是|z|=1．

答案

（1）设z=a+bi，（a，b∈R），则

=a-bi，代入z•

-3i•z=

1-3i

，得a²+b²-3ai+3b=1+3i
故有

a2+b2+3b=1

a=-1

得

a=-1

b=0或-3

，
综上知z=-1，或z=-1-3i
（2）设z=a+bi，，（a，b∈R），
充分性：由|z|=1得z•

=1，即

，故z+

=2a，是实数
必要性：由z+

为实数，即a+bi+

a+bi

=a+

a2+b2

+（b-

a2+b2

）i是实数，
即b-

a2+b2

=0，可得a²+b²=1，故有|z|=1
综上证明知，z+

为实数的充要条件是|z|=1

举一反三

已知条件p：a≥3，条件q：a（a-3）≥0，则p是q______条件．

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条件“a≥2”是“a≥3”成立的______ 条件．

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设M={x

题型：x-1|＞4}，N={x|x²+（a-8）x-8a≤0}，命题p：x∈M，命题q：x∈N
（Ⅰ）当a=-6时，试判断命题P是命题q的什么条件；
（Ⅱ）求a的取值范围，使命题p是命题q的一个必要但不充分条件．难度：| 查看答案

“|x|=|y|”是“x=y”的______条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”和“既不充分又不必要”中选出恰当的一个填空）．

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已知关于x的方程（1-a）x²+（a+2）x-4=0，a∈R，求：
（Ⅰ）方程有两个正根的充要条件
（Ⅱ）方程至少有一个正根的充要条件．

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