已知定义域为R的函数f(x)=b-2x2x-a是奇函数.(1)求a,b的值,并判断f(x)的单调性;(2)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-

已知定义域为R的函数f(x)=b-2x2x-a是奇函数.(1)求a,b的值,并判断f(x)的单调性;(2)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知定义域为R的函数f(x)=
b-2x
2x-a
是奇函数.
(1)求a,b的值,并判断f(x)的单调性;
(2)若对于任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.
答案
(1)∵f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0,b=1.
又f(-1)=-f(1),得a=-1.
经检验a=-1,b=1符合题意.
任取x1,x2∈R,且x1<x2
  则f(x1)-f(x2)=
1-2x1
2x1+1
-
1-2x2
2x2+1
=
2(2x2-2x1)
(2x1+1)(2x2+1)

∵x1<x2,∴2x2-2x1>0,又(2x1+1)(2x2+1)>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)为R上的减函数.
(2)因为不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,
所以f(t2-2t)<-f(2t2-k),
因为f(x)为奇函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2),
又f(x)为减函数,所以t2-2t>k-2t2,即k<3t2-2t恒成立,
而3t2-2t=3(t-
1
3
)2
-
1
3
≥-
1
3

所以k<-
1
3
举一反三
已知函数f(x)=x2-2mx+2-m
(1)若不等式f(x)≥-mx+2在R上恒成立,求实数m的取值范围
(2)设函数f(x)在[0,1]上的最小值为g(m),求g(m)的解析式及g(m)=1时实数m的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+x+1.则当x=0时,f(x)=______;当x<0时,f(x)=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
函数f(x)=x5+ax3+x2+bx+2,若f(2)=3,则f(-2)的值等于______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
设x=-1是f(x)=(x2+ax+b)e2-x(x∈R)的一个极值点,
(1)求a与b的关系式(用a表示b)并求f(x)的单调区间
(2)是否存在实数m,使得对任意a∈(-2,-1)及λ1λ2∈[-2,1]总有|f(λ1)-f(λ2)|<[(m+2)a+1]e3恒成立,若存在求出m的范围.若不存在,说明理由.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
已知x>0,y>0,且
2
x
+
1
y
=1
,若x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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