设x=-1是f（x）=（x2+ax+b）e2-x（x∈R）的一个极值点，（1）求a与b的关系式（用a表示b）并求f（x）的单调区间（2）是否存在实数m，使得对任
题型：解答题难度：一般来源：不详
设x=-1是f（x）=（x2+ax+b）e2-x（x∈R）的一个极值点，
（1）求a与b的关系式（用a表示b）并求f（x）的单调区间
（2）是否存在实数m，使得对任意a∈（-2，-1）及λ1λ2∈[-2，1]总有|f（λ1）-f（λ2）|＜[（m+2）a+1]e3恒成立，若存在求出m的范围．若不存在，说明理由． |
答案
（1）f"（x）=-[x2+（a-2）x+b-a]e2-x
由f"（-1）=0得b=2a-3…（2分）∴f（x）=（x2+ax+2a-3）e2-x
| | f′(x)=-[x2+(a-2)x+a-3]e2-x=-(x+1)(x+a-3)e2-x | | 令f′(x)=0得x1=-1，x2=3-a |
| |
由于x=-1是f（x）的极值点，故x1≠x2，即a≠4
①当a＜4时，x2＞x1，故[-1，3-a]为f（x）的单调增区间；（-∞，-1]、[3-a，+∞）为f（x）
的单调减区间．…（4分）
②当a＞4时，x2＜x1，故[[3-a，-1]为f（x）的单调增区间；（-∞，3-a]、[-1，+∞）为f（x）的单调减区间…（6分）
（2）由-2＜a＜-1得4＜3-a＜5，从而知f（x）在[-2，-1]单调递减，在[-1，1]上单调递增，
f（x）的值域为[f（-1），max{f（-2），f（1）}]=[（a-2）e3，e4]…（8分）
假设存在实数m满足题设，依题意有：[（m+2）a+1]e3＞e4-（a-2）e3恒成立，
即（m+3）a-e-1＞0恒成立，…（12分）
令g（a）=（m+3）a-e-1，
则有，解得，即m≤-4-e
故存在实数m∈（-∞，-4-e]满足题设．…（14分） |
举一反三
| 已知x＞0，y＞0，且+=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是______． |
已知函数f（x）=ln（x+1），g(x)=．
（1）求h（x）=f（x）-g（x）的单调区间；
（2）求证：当-1＜x1＜0＜x2时，f（x1）g（x2）-f（x2）g（x1）＞0；
（3）求证：f2（x）-xg（x）≤0恒成立． |
已知函数f（x）=ln（ex+1）-ax（a＞0）．（e是自然对数的底数）
（1）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求a的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性． |
| 已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lg，那么当x∈（-1，0）时，f（x）的表达式是 ______ |
已知定义在（-∞，-1）∪（1，+∞）上的奇函数满足：①f（3）=1；②对任意的x＞2均有f（x）＞0；③对任意的x＞0，y＞0，均有f（x+1）+f（y+1）=f（xy+1）．
（1）求f（2）的值．
（2）是否存在实数a，使得f（cos2θ+asinθ）＜3对任意的θ∈（0，π）恒成立？若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由． |
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