下列函数中，满足“∀x1，x2∈（0，+∞），（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＜0”的是（　　）A．f（x）=lg（2x+1）B．f（x）=x+cosx

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下列函数中，满足“∀x₁，x₂∈（0，+∞），（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0”的是（　　）

A．f（x）=lg（2x+1）

B．f（x）=x+cosx

C．f（x）=x²-

D．f（x）=-x³-3x²

答案

由题意可得函数在区间（0，+∞）上为减函数，
选项A为常用对数函数形式，为增函数，故不合题意；
选项B，f（x）=x+cosx，由于f"（x）=1-sinx≥0，故函数在（0，+∞）单调递增，不合题意；
选项C，由f′（x）=2x+

＞0可知函数在（0，+∞）上为增函数，不符合题意；
选项D，当x∈（0，+∞）时，f（x）=-x³-3x²，由于f"（x）=-3x²-6x=-3x（x+2）＜0，在（0，+∞）上单调递减，故合题意，
故选D．

举一反三

命题“∃x∈R，x²+x-2≤0”的否定是______．

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命题“∃x∈R，e^x＜x”的否定是（　　）

A．∃x∈R，e^x＞x

B．∀x∈R，e^x≥x

C．∃x∈R，e^x≥x

D．∀x∈R，e^x＞x

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命题“∃x∈R，x²+3x+2＜0”否定是______．

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下列说法正确的是（　　）

A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为“若x²=1，则x≠1”

B．命题“∃x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x²+x+1＜0”

C．“m=0”是“直线mx+（m+2）y-1=0与直线（m-1）x+my=0垂直”的充要条件

D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题

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已知函数f(x)=

3x+1

3x+1-1

与 g(x)=

x+1

．
（1）证明：对∀x∈[1，+∞），f（x）＜g（x）恒成立；
（2）n∈N^*时，证明：

3+1

32-1

33+1

+…+

3n+(-1)n-1

n+1

3n+1+(-1)n

＜

．

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