已知O为A,B,C三点所在直线外一点,且OA=λOB+μOC.数列{an},{bn}满足a1=2,b1=1,且an=λan-1+μbn-1+1bn=μan-1+
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已知O为A,B,C三点所在直线外一点,且OA=λOB+μOC.数列{an},{bn}满足a1=2,b1=1,且an=λan-1+μbn-1+1bn=μan-1+
题型:中山区模拟
难度:
来源:
已知O为A,B,C三点所在直线外一点,且
OA
=λ
OB
+μ
OC
.数列{a
n
},{b
n
}满足a
1
=2,b
1
=1,且
a
n
=λ
a
n-1
+μ
b
n-1
+1
b
n
=μ
a
n-1
+λ
b
n-1
+1
(n≥2).
(Ⅰ)求λ+μ;
(Ⅱ)令c
n
=a
n
+b
n
,求数列{c
n
}的通项公式;
(III)当
λ-μ=
1
2
时,求数列{a
n
}的通项公式.
答案
(I)A,B,C三点共线,设
AB
=m
BC
,
则
AB
=
OB
-
OA
=m
BC
=m(
OC
-
OB
)
,(2分)
化简得:
OA
=(m+1)
OB
-m
OC
,所以λ=m+1,μ=-m,
所以λ+μ=1.(4分)
(II)由题设得
a
n
+b
n
=(λ+μ)(a
n-1
+b
n-1
)+2=a
n-1
+b
n-1
+2,(n≥2)(6分)
即c
n
=c
n-1
+2(n≥2),∴{c
n
}是首项为a
1
+b
1
=3,
公差为2的等差数列,通项公式为c
n
=2n+1(18分)
(III)由题设得
a
n
-
b
n
=(λ-μ)(
a
n-1
-
b
n-1
)=
1
2
(
a
n-1
-
b
n-1
),(n≥2)
,(10分)
令d
n
=a
n
-b
n
,则
d
n
=
1
2
d
n-1
(n≥2)
.
所以{d
n
}是首项为a
1
-b
1
=1,公比为
1
2
的等比数列,
通项公式为
d
n
=
1
2
n-1
.(12分)
由
a
n
+
b
n
=2n+1
a
n
-
b
n
=
1
2
n-1
解得
a
n
=
1
2
n
+n+
1
2
.(14分)
举一反三
设P,Q为△ABC内的两点,且
AP
=m
AB
+n
AC
(m,n>0)
AQ
=p
AB
+q
AC
(p,q>0)
,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为______.
题型:不详
难度:
|
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已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若
AP
=2
PB
,则|
PD
|的值是______.
题型:不详
难度:
|
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已知复数z
1
=-1+2i,z
2
=1-i,z
3
=3-4i,它们在复平面上所对应的点分别为A,B,C,若
OC
=λ
OA
+μ
OB
(λ,μ∈R)
,则λ+μ的值是______.
题型:不详
难度:
|
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设
e
1
,
e
2
是两个不共线的向量,
AB
=2
e
1
+k
e
2
,
CB
=
e
1
+3
e
2
,
CD
=2
e
1
-
e
2
,若A、B、D三点共线,求k的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率
e=
2
2
,短轴长为2.
(1)求椭圆方程;
(2)若椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,经过点
(0,
2
)
且斜率k的直线l与椭圆交于不同的两点P、Q.是否存在常数k,使得向量
OP
+
OQ
与
AB
共线?如果存在,求k的值;如果不存在,请说明理由.
题型:许昌县模拟
难度:
|
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