已知圆C的中心在原点O，点P（2，2）、A、B都在圆C上，且OA+OB=mOP （m∈R）．（Ⅰ）求圆C的方程及直线AB的斜率；（Ⅱ）当△OAB的面积取得最大值

题型：不详难度：来源：

已知圆C的中心在原点O，点P（2，2）、A、B都在圆C上，且

OA

+

OB

=m

OP

 （m∈R）．
（Ⅰ）求圆C的方程及直线AB的斜率；
（Ⅱ）当△OAB的面积取得最大值时，求直线AB的方程．

答案

（Ⅰ）设圆C的方程为x²+y²=r²，
∵点P（2，2）在圆C上，∴r²=8
∴圆C的方程为x²+y²=8
∵A、B都在圆C上，

OA

+

OB

=m

OP

∴A，B关于直线OP对称
∵直线OP的斜率为1
∴直线AB的斜率为-1；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=-x+b，则圆心到直线AB的距离为d=

|b|

2

∴|AB|=2

8- b2 2

∴△OAB的面积为

1

2

×2

8- b2 2

×

|b|

2

=

(8- b2 2 )× b2 2

≤

8- b2 2 + b2 2

2

=4
当且仅当8-

b2

2

=

b2

2

，即b=±2

2

时，△OAB的面积取得最大值4
此时直线AB的方程为y=-x±2

2

．