已知向量a=(cos3x2，sin3x2)，b=(cosx2，-sinx2)，且x∈[0，π2]，f（x）=a•b-2λ|a+b|（λ为常数），求：（1）a•b

题型：不详难度：来源：

已知向量a=(cos

3x

2

，sin

3x

2

)，b=(cos

x

2

，-sin

x

2

)，且x∈[0，

π

2

]，f（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|（λ为常数），
求：（1）

a

•

b

及|

a

+

b

|；
（2）若f（x）的最小值是-

3

2

，求实数λ的值．

答案

（1）

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，|

a

+

b

|=

(cos 3x 2 +cos x 2 )2+(sin 3x 2 -sin x 2 )2

=

2+2cos2x

=2

cos2x

，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴cosx≥0，
∴|

a

+

b

|=2cosx．

（2）f（x）=cos2x-4λcosx=2（cosx-λ）²-1-2λ²，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴0≤cosx≤1，
①当λ＜0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值-1，这与已知矛盾；
②当0≤λ≤1，当且仅当cosx=λ时，f（x）取得最小值-1-2λ²，
由已知得-1-2λ2=-

3

2

，解得λ=

1

2

；
③当λ＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值1-4λ，
由已知得1-4λ=-

3

2

，解得λ=

5

8

，这与λ＞1相矛盾、
综上所述，λ=

1

2

为所求．