已知圆锥曲线C：x216+y2t2-2t=1（t≠0且t≠2），其两个不同的焦点F1、F2同在x轴上．（1）试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；（2

题型：不详难度：来源：

已知圆锥曲线C：

x2

16

+

y2

t2-2t

=1（t≠0且t≠2），其两个不同的焦点F₁、F₂同在x轴上．
（1）试根据t不同的取值范围来讨论C所表示的圆锥曲线；
（2）试在曲线C上求满足

PF1

•

PF2

=0的点P的个数，并求出相应的t的取值范围．

答案

（1）只可能是焦点在x轴上的椭圆或双曲线，
当

t2-2t＞0 t2-2t＜16

，即t∈(1-

17

，0)∪(2，1+

17

)时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，
当t²-2t＜0即t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线．
（2）满足

PF1

•

PF2

=0的P在以F₁F₂为直径的圆周上
当t∈（0，2）时，曲线C为焦点在x轴上的双曲线，P有4个
当t∈(1-

17

，0)∪(2，1+

17

)时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆
此时a²=16，b²=t²-2t，c²=16-（t²-2t）
若b＜c，即t∈（-2，0）∪（2，4）时，P有4个
若b=c，即t=-2或t=4时，P有2个
若b＞c，即t∈(1-

17

，-2)∪(4，1+

17

)时，P不存在．