函数f(x)是由向量集A到A的映射f确定,且f(x)=x-2(x•a)a,若存在非零常向量a使f[f(x)]=f(x)恒成立.(1)求|a|;(2)设AB=a,
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函数f(x)是由向量集A到A的映射f确定,且f(x)=x-2(x•a)a,若存在非零常向量a使f[f(x)]=f(x)恒成立.(1)求|a|;(2)设AB=a,
题型:不详
难度:
来源:
函数f(x)是由向量集
A
到
A
的映射f确定,且f(x)=x-2(x•
a
)
a
,若存在非零常向量
a
使f[f(x)]=f(x)恒成立.
(1)求|
a
|;
(2)设
AB
=
a
,
A
(1,-2),若点P分
AB
的比为-
1
3
,求点P所在曲线的方程.
答案
(1)f[f (x)]=f (x)-2[f (x)•
a
]•
a
(
x
为向量)
=x-2(x•
a
)•
a
-2{[x-2(x•
a
)•
a
]•
a
}•
a
=x-2(x•
a
)
•
a
-2[x•
a
-2(x•
a
)
a
2
]
•
a
=x-2(x•
a
)
•
a
∴[x•
a
-2(x•
a
)
•
a
2
]
•
a
=0,∵
a
≠
0
.
∴x•
a
-2(x•
a
)
•
a
2
=0,∴x•
a
(1-2
a
2
)=0恒成立
∴1-2
a
2
=0,∴
a
2
=
1
2
,∴
|
a
|=
2
2
.
(2)设B(x′,y′),∴
AB
=(x′-1,y′+2),
∴(x′-1)
2
+(y′+2)
2
=
1
2
,
设P(x,y) 由
AP
=-
1
3
PB
,∴(x-1,y+2)=-
1
3
(x′-x,y′-y)
∴
x-1=-
1
3
(
x
′
-x)
y+2=-
1
3
(
y
′
-y)
,解得
x
′
=-2x+3
y
′
=-2y-6
,
∴(-2x+3-1)
2
+(-2y-6+2)
2
=
1
2
∴(x-1)
2
+(y+2)
2
=
1
8
,即为P点所在曲线的方程.
举一反三
已知直角三角形ABC斜边AB的长等于
29
,计算
AB
•
AC
+
BC
•
BA
+
CA
•
CB
=______.
题型:不详
难度:
|
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△ABC中,
AB
•
AC
=2
,△ABC的面积为1,则A=______.
题型:不详
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设向量
|
a
|=4,|
b
|=8
,
a
与
b
的夹角是120°,且
(
a
+2
b
)⊥(k
a
-
b
)
,则实数k值为______.
题型:不详
难度:
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若
a
、
b
、
c
为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是( )
A.(
a
+
b
)+
c
=
a
+(
b
+
c
)
B.(
a
+
b
)•
c
=
a
•
c
+
b
•
c
C.m(
a
+
b
)=m
a
+m
b
D.(
a
•
b
)•
c
=
a
•(
b
•
c
)
题型:不详
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下列命题中正确的是( )
A.若
a
•
b
=0,则
a
=
0
或
b
=
0
B.若
a
•
b
=0,则
a
∥
b
C.若
a
∥
b
,则
a
在
b
上的投影为|
a
|
D.若
a
⊥
b
,则
a
•
b
=(
a
•
b
)
2
题型:不详
难度:
|
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