若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则AP • (PB+PD)的取值范围是 ______．

题型：杨浦区二模难度：来源：

若正方形ABCD边长为1，点P在线段AC上运动，则

AP

 • (

PB

+

PD

)的取值范围是 ______．

答案

以AB，AC 为x，y轴建立直角坐标系则
A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）
设P（x，x）（0≤x≤1）

AP

=(x，x)， 

PB

=(1-x，-x)，

PD

=(-x，1-x)
∴

AP

• (

PB

+

PD

)=2x（1-2x）
=-4(x-

1

4

)2+

1

4

  （0≤x≤1）
所以当x=

1

4

时，函数有最大值

1

4

；当x=1时函数有最小值-2
故答案为[-2，

1

4

]