在平面四边形ABCD中，向量a=AB=(4，1)，b=BC=(3，-1)，c=CD=(-1，-2)．（Ⅰ）若向量(a+2b)与向量(b-kc)垂直，求实数k的值

题型：不详难度：来源：

在平面四边形ABCD中，向量

a

=

AB

=(4，1)，

b

=

BC

=(3，-1)，

c

=

CD

=(-1，-2)．
（Ⅰ）若向量(

a

+2

b

)与向量(

b

-k

c

)垂直，求实数k的值；
（Ⅱ）若

DB

=m

DA

+n

DC

，求实数m，n．

答案

（Ⅰ）∵向量(

a

+2

b

)与向量(

b

-k

c

)垂直
∴(

a

+2

b

)•(

b

-k

c

)=0…（2分）
∴（10，-1）•（3+k，-1+2k）=0
∴30+10k+1-2k=0∴k=-

31

8

…（5分）
（Ⅱ）

BD

=

BC

+

CD

=(2，-3)，∴

DB

=(-2，3)…（7分）

AD

=

AB

+

BC

+

CD

=(6，-2)∴

DA

=(-6，2)，

DC

=(1，2)…（9分）
∵

DB

=m

DA

+n

DC

，
∴（-2，3）=m（-6，2）+n（1，2）
∴

-2=-6m+n 3=2m+2n

∴m=

1

2

，n=1…（12分）