平面向量a=(3，-1)，b=(12，32)，若存在不同时为0的实数k和t，使x=a+(t2-3)b，y=-ka+tb，且x⊥y，试确定函数k=f（t）的单调区

题型：不详难度：来源：

平面向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)，若存在不同时为0的实数k和t，使

x

=

a

+(t2-3)

b

，

y

=-k

a

+t

b

，且

x

⊥

y

，试确定函数k=f（t）的单调区间．

答案

由

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)得，

a

•

b

=0，|

a

|=2，|

b

|=1．
再由

x

⊥

y

可得 

x

•

y

=[

a

+(t2-3)

b

]•(-k

a

+t

b

)=0，
即-k

a2

+t

a

•

b

-k(t2-3)

a

•

b

+t(t2-3)

b2

=0．
故有-4k+t³-3t=0，k=

1

4

（t³-3t ），故 f（t）=

1

4

（t³-3t ）．
 由 f′（t）=

3

4

t²-

3

4

＞0，解得 t＜-1，或 t＞1．
令f′（t）=

3

4

t²-

3

4

＜0，解得-1＜t＜1．
所以f（t）的增区间为（-∞，-1）、（1，+∞）；减区间为（-1，1）．