已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,长轴长为4,M为右顶点,过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点,直线AM、BM与x=4分别交于P、Q两

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12,长轴长为4,M为右顶点,过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点,直线AM、BM与x=4分别交于P、Q两

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
1
2
,长轴长为4,M为右顶点,过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点,直线AM、BM与x=4分别交于P、Q两点,(P、Q两点不重合).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当直线AB与x轴垂直时,求证:


FP


FQ
=0

(3)当直线AB的斜率为2时,(2)的结论是否还成立,若成立,请证明;若不成立,说明理由.
答案
(1)由题意有2a=4,a=2,e=
c
a
=
1
2
,c=1,b2=3
∴椭圆的标准方程为 
x2
4
+
y2
3
=1
…(3分)
(2)直线AB与x轴垂直,则直线AB的方程是x=1
则A(1,
3
2
)B(1,-
3
2
),M(2,0)
AM、BM与x=1分别交于P、Q两点,A,M,P三点共线,


AM


MP
共线             …(4分)
可求P(4,-3),∴


FP
=(3,-3)

同理:Q(4,3),


FQ
=(3,3)



FP


FQ
=0
命题成立.                     …(5分)
(3)若直线AB的斜率为2,∴直线AB的方程为y=2(x-1),
又设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4
联立





y=2(x-1)
x2
4
+
y2
3
=1
消y得 19x2-32x+4=0
x1+x2=
32
19
x1x2=
4
19

y1y2=4(x1-1)(x2-1)=
-36
19
…(7分)
又∵A、M、P三点共线,
y3=
2y1
x1-2
同理y4=
2y2
x2-2



FP
=(3,
2y1
x1-2
)


FQ
=(3,
2y2
x2-2
)



FP


FQ
=9+
4y1y2
x1x2-2(x1+x2)+4
=0

综上所述:


FP


FQ
=0
,结论仍然成立…(10分)
举一反三
设F1、F2分别为椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右两个焦点,椭圆C上一点P(1,
3
2
)到F1、F2两点的距离之和等于4.又直线l:y=
1
2
x+m与椭圆C有两个不同的交点A、B,O为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l经过点F1,求△ABF2的面积;
(Ⅲ)求


OA
 • 


OB
的取值范围.
题型:通州区一模难度:| 查看答案
若平面向量


a


b
满足:|


a
+2


b
|≤3,则


a


b
的最大值是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知


a
+


b
=2


i
-8


j
+


k


a
-


b
=-8


i
+16


j
-3


k


i


j


k
两两互相垂直),那么


a


b
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线的焦点F在y轴上,抛物线上一点A(a,4)到准线的距离是5,过点F的直线与抛物线交于M,N两点,过M,N两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为T.
(I)求抛物线的标准方程;
(II)求


FT


MN
的值;
(III)求证:|


FT
|是|


MF
|和|


NF
|
的等比中项.
题型:东城区二模难度:| 查看答案
等边三角形ABC的边长为a,则


AB


BC
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
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