(I) 由题意,抛物线E的焦点为F(0,),直线l1的方程为y=k1x+. 由,得x2-2pk1x-p2=0. 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实数根. 从而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p. 所以点M的坐标为(pk1,pk12+),=(pk1,pk12). 同理可得点N的坐标为(pk2,pk22+),=(pk2,pk22). 于是•=p2(k1k2+k12k22). 由题设k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,所以0<k1k2<()2=1. 故•<p2(1+12)=2p2. (Ⅱ)由抛物线的定义得|FA|=y1+,|FB|=y2+, 所以|AB|=y1+y2+p=2pk12+2p,从而圆M的半径r1=pk12+p. 故圆M的方程为(x-pk1)2+(y-pk12-)2=(pk12+p)2, 化简得x2+y2-2pk1x-p(2k12+1)y-p2=0. 同理可得圆N的方程为x2+y2-2pk2x-p(2k22+1)y-p2=0 于是圆M,圆N的公共弦所在的直线l的方程为(k2-k1)x+(k22-k12)y=0. 又k2-k1≠0,k1+k2=2,则l的方程为x+2y=0. 因为p>0,所以点M到直线l的距离为 d===. 故当k1=-时,d取最小值.由题设=,解得p=8. 故所求抛物线E的方程为x2=16y. |