已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点P（4，-10）．（1）求双曲线C的方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：MF1•M

题型：不详难度：来源：

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在坐标轴上，离心率为

2

，且过点P（4，-

10

）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：

MF1

•

MF2

=0；
（3）求△F₁MF₂的面积．

答案

（1）∵e=

2

，∴可设双曲线方程为x²-y²=λ．
∵过点（4，-

10

），∴16-10=λ，即λ=6．
∴双曲线方程为x²-y²=6；
（2）证明：∵

MF1

=（-3-2

3

，-m），

MF2

=（2

3

-3，-m），
∴

MF1

•

MF2

=（-3-2

3

）×（2

3

-3）+m²=-3+m²，
∵M点在双曲线上，∴9-m²=6，即m²-3=0，
∴

MF1

•

MF2

=0．
（3）△F₁MF₂中|F₁F₂|=4

3

，由（2）知m=±

3

．
∴△F₁MF₂的F₁F₂边上的高h=|m|=

3

，∴S_△F1MF2=6．