已知a∈R,函数m(x)=x2,n(x)=aln(x+2).(Ⅰ)令f(x)=m(x),x≤0n(x),x>0,若函数f(x)的图象上存在两点A、B满足OA⊥O

已知a∈R,函数m(x)=x2,n(x)=aln(x+2).(Ⅰ)令f(x)=m(x),x≤0n(x),x>0,若函数f(x)的图象上存在两点A、B满足OA⊥O

题型:不详难度:来源:
已知a∈R,函数m(x)=x2,n(x)=aln(x+2).
(Ⅰ)令f(x)=





m(x),x≤0
n(x),x>0
,若函数f(x)的图象上存在两点A、B满足OA⊥OB(O为坐标原点),且线段AB的中点在y轴上,求a的取值集合;
(Ⅱ)若函数g(x)=m(x)+n(x)存在两个极值点x1、x2,求g(x1)+g(x2)的取值范围.
答案
(Ⅰ)由题意,不妨设A(t,aln(t+2)),B(-t,t2)(t>0)
∴OA⊥OB,
∴-t2+at2ln(t+2)=0,
∴a=
1
ln(t+2)

∵ln(t+2)∈(ln2,+∞),
∴a的取值集合为(0,
1
ln2
);
(Ⅱ)g(x)=m(x)+n(x)=x2+aln(x+2),
∴g′(x)=
2x2+4x+a
x+2

∵函数g(x)=m(x)+n(x)存在两个极值点x1、x2
∴g′(x)=0,即2x2+4x+a=0在(-2,+∞)上存在两个不等的实根,
令p(x)=2x2+4x+a,
∴△=16-8a>0且p(-2)>0,
∴0<a<2,
∵x1+x2=-2,x1x2=
a
2

∴g(x1)+g(x2)=x12+aln(x1+2)+x22+aln(x2+2)
=(x1+x22-2x1x2+aln[x1x2+2(x1+x2)+4]
=aln
a
2
-a+4
令q(x)=xln
x
2
-x+4,x∈(0,2),
∴q′(x)=ln
x
2
<0,
∴q(x)在(0,2)上单调递减,
∴2<aln
a
2
-a+4<4
∴g(x1)+g(x2)的取值范围是(2,4).
举一反三
已知向量


OA
=(-3,1)


OB
=(1,3)
,在直线y=x+4上是否存在点P,使得


PA


PB
=0
?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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在平面直角坐标系xOy中,已知四边形OABC是等腰梯形,A(6,0),C(1,


3
)
,点,M满足


OM
=
1
2


OA
,点P在线段BC上运动(包括端点),如图.
(1)求∠OCM的余弦值;
(2)是否存在实数λ,使(


OA


OP
)⊥


CM
,若存在,求出满足条件的实数λ的取值范围,若不存在,请说明理由.
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已知


m
=(-5,3),


n
=(-1,2),当(λ


m
+


n
)⊥(2


n
+


m
)时,实数λ的值为(  )
A.
5
8
B.-
3
16
C.-
3
8
D.
3
8
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已知向量


a
=(sinθ,


3
)


b
=(1,cosθ)
θ∈(-
π
2
π
2
)

(1)若


a


b
,求θ;
(2)求|


a
+


b
|
的最大值.
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数列{an}的a1=1,


a
=(n,an),


b
=(an+1,n+1),且


a


b
,则a100=(  )
A.-100B.100C.
100
99
D.-
100
99
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