已知向量a+3b垂直于向量7a-5b，向量a-4b垂直于向量7a-2b，求向量a与b的夹角．

题型：不详难度：来源：

已知向量

a

+3

b

垂直于向量7

a

-5

b

，向量

a

-4

b

垂直于向量7

a

-2

b

，求向量

a

与

b

的夹角．

答案

由题意可得，

( a +3 b )•(7 a -5 . b )=0 ( a -4 b )•(7 a -2 . b )=0

，
即

7 a 2+16 a • b -15 b 2=0 7 a 2-30 a • b +8 b 2=0

 整理可得，2

a

•

b

=

b

²，代入可得 

a

2=

b

²
∴cosα=

a • b

| a |•| b |

=

1 2 | b |2

| b |2

=

1

2

∵0°≤α≤180°  所以

a

与

b

的夹角为60⁰．
∵

sinB

b

=

sinC

c

=

sinA

a

∴

sinB+sinC

b+c

=

sinA

a

∴sinB+sinC=2sinA
且cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(b+c)2-2bc-a2

2bc

=

300-2bc

2bc

=

300

2bc

-1=

150

bc

-1
又bc≤(

b+c

2

)2=100∴cosA≥

3

2

-1=

1

2

又0＜A＜π∴0＜A≤

π

3

∴sinB+sinC≤

3