已知a与b的模均为2，且|ma+b|=3|a-mb|，其中m＞0（1）用m表示a•b； （2）求a•b的最小值及此时a与b的夹角．

题型：不详难度：来源：

已知

a

与

b

的模均为2，且|m

a

+

b

|=

3

|

a

-m

b

|，其中m＞0
（1）用m表示

a

•

b

； 
（2）求

a

•

b

的最小值及此时

a

与

b

的夹角．

答案

（1）因为

a

与

b

的模均为2，|m

a

+

b

|=

3

|

a

-m

b

|
所以(m

a

+

b

)•(m

a

+

b

)=3(

a

-m

b

)•(

a

-m

b

)，
m²

a

2+

b

2+2m

a

•

b

=3

a

2+3m²

b

2-6m

a

•

b

，
即8m

a

•

b

=8+8m²；
∵m＞0
∴

a

•

b

=m+

1

m

．
（2）

a

•

b

=m+

1

m

≥2，当且仅当m=1时，

a

•

b

最小值为2，
此时

a

•

b

=|

a

||

b

|cosθ=2，
∴cosθ=

1

2

，
∴θ=

π

3

．