设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

题型：不详难度：来源：

设两向量e₁、e₂满足|

e

1|=2，|

e

2|=1，

e

1、

e

2的夹角为60°，若向量2t

e

1+7

e

2与向量

e

1+t

e

2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

答案

e

1²=4，

e

2²=1，

e

1•

e

2=2×1×cos60°=1，
∴（2t

e

1+7

e

2）•（

e

1+t

e

2）=2t

e

1²+（2t²+7）

e

1•

e

2+7t

e

2²=2t²+15t+7．
∴2t²+15t+7＜0．
∴-7＜t＜-

1

2

．设2t

e

1+7

e

2=λ（

e

1+t

e

2）（λ＜0）⇒

2t=λ 7=tλ

⇒2t²=7⇒t=-

14

2

，
∴λ=-

14

．
∴当t=-

14

2

时，2t

e

1+7

e

2与

e

1+t

e

2的夹角为π．
∴t的取值范围是（-7，-

14

2

）∪（-

14

2

，-

1

2

）．