已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．（1）若(OA+OC)2=7（O为原点），求向量OB与OC夹角的大小；（2）若AC⊥BC

题型：静安区一模难度：来源：

已知坐标平面上三点A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）．
（1）若(

OA

+

OC

)2=7（O为原点），求向量

OB

与

OC

夹角的大小；
（2）若

AC

⊥

BC

，求sin2α的值．

答案

（1）∵

OA

+

OC

=(2+cosα，sinα)，(

OA

+

OC

)2=7，
∴（2+cosα）²+sin²α=7，
∴cosα=

1

2

．
又B（0，2），C（cosα，sinα），设

OB

与

OC

的夹角为θ，
则：cosθ=

OB • OC

| OB || OC |

=

2sinα

2

=sinα=±

3

2

，
∴

OB

与

OC

的夹角为

π

6

或

5

6

π．
（2）∵

AC

=(cosα-2，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-2)，
由

AC

⊥

BC

，∴

AC

•

BC

=0，
可得cosα+sinα=

1

2

，①
∴(cosα+sinα)2=

1

4

，∴2sinαcosα=-

3

4

，sin2α=-

3

4