已知向量a="(cos" α,sin α),b="(cos" β,sin β),0<β<α<π.(1)若|a-b|=,求证:a⊥b;(2)设c

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已知向量a="(cos" α,sin α),b="(cos" β,sin β),0<β<α<π.
(1)若|a-b|=,求证:a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.

答案

(1)见解析   (2) α=,β=

解析

(1)证明:由|a-b|=得
(cosα-cos β)²+(sinα-sinβ)²=2,
即2-2cosαcosβ-2sinαsinβ=2,
∴cosαcosβ+sinαsinβ=0,
即a·b=0,
∴a⊥b.
(2)解:因为a+b=(cosα+cosβ,sin α+sinβ)=(0,1),
所以
由此得,cosα=cos(π-β),
由0<β<π,得0<π-β<π.
又0<α<π,
故α=π-β.
代入sinα+sinβ=1,得sinα=sinβ=,
而α>β,
所以α=,β=.