试题分析:本题主要考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式等基础知识.考查数形结合的数学思想.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,利用向量的点乘求出点的轨迹方程,数形结合找出,所以,然后配方法求最值;第二问,利用两圆的位置关系列出不等式,用配方法求最值,得到圆心和半径,写出圆的标准方程. 试题解析:(Ⅰ)设,则, ∴, 即点轨迹(曲线)方程为,即曲线是. 2分 连∵为切点,,由勾股定理有:. 又由已知,故. 即:, 化简得实数间满足的等量关系为:,即.(4分) ∴=, 故当时,即线段长的最小值为 7分 (另法)由点在直线:上. ∴,即求点到直线的距离. ∴(7分) (Ⅱ)设的半径为,∵与有公共点,的半径为1, 即且. 8分 而, 9分 故当时,. 10分 此时,. 11分 得半径取最小值时的标准方程为. 13分 (另法)与有公共点,半径最小时为与外切(取小者)的情形,而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1,圆心为过原点与垂直的直线与的交点. . 又,(10分) 解方程组,得.即, ∴所求标准方程为.(13分)
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