在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为 A(0,-1),B(0, 1)平面内两点G、M同时满足① , ②= = ③∥     (1)求顶点C的轨迹E的方程(2)

在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为 A(0,-1),B(0, 1)平面内两点G、M同时满足① , ②= = ③∥     (1)求顶点C的轨迹E的方程(2)

题型:不详难度:来源:
在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为 A(0,-1),B(0, 1)平面内两点G、M同时满足① , ②= =      
(1)求顶点C的轨迹E的方程
(2)设P、Q、R、N都在曲线E上 ,定点F的坐标为(, 0) ,已知 ,
·= 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.
答案
(1) (x≠0)(2) Smax =" 2" , Smin =
解析
(1)设C ( x , y ), ,由①知,
G为△ABC的重心 ,   G(,)  
由②知M是△ABC的外心,M在x轴上
由③知M(,0),
 得 
化简整理得:(x≠0 )
(2)F(,0 )恰为的右焦点
设PQ的斜率为k≠0且k≠±,则直线PQ的方程为y =" k" ( x -)

设P(x1 , y1) ,Q (x2 ,y2 ) 则x1 + x2 =  ,    x1·x2 =           

-7-


 
则| PQ | = ·        =  ·
=  
RN⊥PQ,把k换成得 | RN
S =| PQ | · | RN |
= 
=
                                
≥2 , ≥16
≤ S  < 2 , (当 k = ±1时取等号) 
又当k不存在或k = 0时S = 2
综上可得  ≤ S ≤ 2
Smax =" 2" , Smin =  

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举一反三
如图:空间四边形中,点分别是的中点.设
(1)用表示向量.
(2)若,且夹角的余弦值均为夹角为600,求
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设D为等腰三角形ABC底边BC的中点,利用向量法证明:.
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在⊿ABC中,设
(1)若⊿ABC为正三角形,求证:
(2)若成立,⊿ABC是否为正三角形.
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已知向量(cos,sin) (≠0 ),=" (" – sin,cos),其中O为坐标原点。(1)若=,求向量的夹角;(2)若||≥2||对任意实数都成立,求实数的取值范围。
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如图,在平行四边形中,,则      .
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