在边长为1的正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点,设向量AC=λDE+μAP.(Ⅰ)求点(μ,λ)的轨迹
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在边长为1的正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点,设向量AC=λDE+μAP.(Ⅰ)求点(μ,λ)的轨迹
题型:不详
难度:
来源:
在边长为1的正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点,设向量
AC
=λ
DE
+μ
AP
.
(Ⅰ)求点(μ,λ)的轨迹方程(不需限制变量取值范围);
(Ⅱ)求λ+μ的最小值.
答案
(Ⅰ)如图,
以A为原点,以AB所在的为x轴,建立坐标系,设正方形ABCD的边长为1,
设E(
1
2
,0),C(1,1),D(0,1),A(0,0).
设P(cosθ,sinθ),∴
AC
=(1,1).
由向量
AC
=λ
DE
+μ
AP
=λ(
1
2
,-1)+μ(cosθ,sinθ)
=(
λ
2
+μcosθ,-λ+μsinθ)=(1,1),
∴
λ
2
+μcosθ=1,-λ+μsinθ=1,
即
μcosθ=1-
λ
2
①,
μsinθ=1+λ ②.
①
2
+②
2
得:5λ
2
+4λ-4μ
2
+8=0;
(Ⅱ)由
λ
2
+μcosθ=1,-λ+μsinθ=1,
∴
λ=
2sinθ-2cosθ
sinθ+2cosθ
μ=
3
sinθ+2cosθ
,
∴λ+μ=
2sinθ-2cosθ+3
sinθ+2cosθ
,
由题意可知:0≤θ≤
π
2
,∴0≤sinθ≤1,0≤cosθ≤1,
∴当cosθ取得最大值1时,同时sinθ取得最小值0,这时λ+μ取最小值为
0-2+3
0+2
=
1
2
.
∴λ+μ的最小值为
1
2
.
举一反三
已知向量
m
=(2acosx,sinx),
n
=(cosx,bcosx),f(x)=
m
•
n
-
3
2
,函数f(x)的图象在y轴上的截距为
3
2
,并且过点
(
π
4
,
1
2
)
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若A是三角形的内角,
f(
A
2
-
π
6
)=
2
5
5
,求
3sinA-2cosA
sinA+cosA
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知两定点M(4,0),N(1,0),动点P满足
|
PM
|=2|
PN
|
.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)若点G(a,0)是轨迹C内部一点,过点G的直线l交轨迹C于A、B两点,令
f(a)=
GA
•
GB
,求f(a)的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,E为BC中点,求证:AE⊥PD.
题型:不详
难度:
|
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在正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,D是CC
1
的中点,F是A
1
B的中点,且
DF
=x
AB
+y
AC
,则x=______,y=______.
题型:不详
难度:
|
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已知圆x
2
+y
2
=9,从这个圆上任一点P向x轴作垂线PP′,点P′为垂足,点M在PP′上,并且
PM
=
1
2
MP′
.
(1)求点M的轨迹.
(2)若
F
1
(-
5
,0)
,
F
2
(
5
,0)
求|MF
1
题型:MF
2
|的最大值.
难度:
|
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