已知平面向量α,β(α≠β,β≠0)满足|α|=1,(1)当|α-β|=|α+β|=2时,求|β|的值;(2)当β与α-β的夹角为120°时,求|β|的取值范围

已知平面向量α,β(α≠β,β≠0)满足|α|=1,(1)当|α-β|=|α+β|=2时,求|β|的值;(2)当β与α-β的夹角为120°时,求|β|的取值范围

题型:不详难度:来源:
已知平面向量


α


β
(


α


β


β
0)满足|


α
|=1
,(1)当|


α
-


β
|=|


α
+


β
|=2
时,求|


β
|
的值;(2)当


β


α
-


β
的夹角为120°时,求|


β
|
的取值范围.
答案
(1)|


α
-


β
|=|


α
+


β
|=2
|


α
-


β
|2=|


α
+


β
|2=4
,化简得







α


β
=0


α
2
+2


α


β
+


β
2
=4

|


α
|=1
,∴|


β
|=


3
,即|


β
|
的值为


3

(2)如图,设


OA
=


α


OB
=


β
,∴


BA
=


α
-


β

由题,


β


α
-


β
的夹角为120°,因此,在△ABO中,∠OBA=60°,根据正弦定理,
|


β
|
sinA
=
|


α
|
sinB

|


β
|=
2


3
3
sinA
,∵0°<A<120°∴0<sinA≤1,
|


β
|
的取值范围是(0,
2


3
3
]

举一反三
已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足|ka+b|=


3
|a-kb|(k>0),
(1)求a与b的数量积用k表示的解析式f(k);
(2)a能否和b垂直?a能否和b平行?若不能,请说明理由;若能,请求出相应的k值;
(3)求向量a与向量b的夹角的最大值.
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如下图所示,在△ABO中,


OC
=
1
4


OA


OD
=
1
2


OB
,AD与BC相交于点M,设


OA
=


a


OB
=


b
,试用


a


b
表示


OM

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已知O为坐标原点,点A(x,y)与点B关于x轴对称,


j
=(0,1)
,则满足不等式


OA
2
+


j


AB
≤0
的点A的集合用阴影表示(  )
A.B.C.D.
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如图,在△ABC中,AD⊥AB,


BC
=


3


BD
|


AD
|=1
,则


AC


AD
=______.
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已知向量


a
=(cosα
,sinα),


b
=(cosβ
,sinβ)且|


a
+


b
|=


3
|


a
-k


b
|
k>-
1
3
,k∈R
(1)用k表示


a


b

(2)当


a


b
最小时,求向量


a
+


b
与向量


a
-k


b
的夹角θ.
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