已知抛物线y2=4x,点F是抛物线的焦点,点M在抛物线上,O为坐标原点.(1)当 FM•OM=4时,求点M的坐标;(2)求 |OM||FM|的最大值.
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已知抛物线y2=4x,点F是抛物线的焦点,点M在抛物线上,O为坐标原点.(1)当 FM•OM=4时,求点M的坐标;(2)求 |OM||FM|的最大值.
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线y
2
=4x,点F是抛物线的焦点,点M在抛物线上,O为坐标原点.
(1)当
FM
•
OM
=4
时,求点M的坐标;
(2)求
|
OM
|
|
FM
|
的最大值.
答案
(1)抛物线y
2
=4x的焦点F的坐标是 (1,0),设点M(x
0
,y
0
),其中x
0
≥0.
因为
FM
=(
x
0
-1,
y
0
),
OM
=(
x
0
,
y
0
)
,所以,
FM
•
OM
=
x
0
(
x
0
-1)+
y
20
=
x
20
+3
x
0
=4
,
解得 x
0
=1,或 x
0
=-4(舍). 因为 y
0
2
=4x
0
,所以,y
0
=±2,即点M的坐标为(1,2),(1,-2).
(2)设点M(x,y),其中x≥0,
|
OM
|
|
FM
|
=
x
2
+
y
2
(x-1)
2
+
y
2
=
x
2
+4x
(x+1)
2
=
-3
(x+1)
2
+
2
x+1
+1
.
设
t=
1
x+1
(0<t≤1)
,则
|
OM
|
|
FM
|
=
-3
t
2
+2t+1
=
-3
(t-
1
3
)
2
+
4
3
.
因为 0<t≤1,所以,当
t=
1
3
(即x=2)时,
|
OM
|
|
FM
|
取得最大值
2
3
3
.
举一反三
设平面向量
a
,
b
满足
|
a
|=|
b
|=1,
a
•
b
=0
,
x
=
a
+(
t
2
-k)
b
,
y
=-s
a
+t
b
,其中,k,t,s∈R.
(1)若
x
⊥
y
,求函数关系式s=f(t);
(2)在(1)的条件下,若k=3,t∈[-2,3],求s的最大值;
(3)实数k在什么范围内取值时?对该范围内的每一个确定的k值,存在唯一的实数t,使
x
•
y
=2-s
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设OABC是四面体,G
1
是△ABC的重心,G是OG
1
上一点,且OG=3GG
1
,若
OG
=x
OA
+y
OB
+z
OC
,则(x,y,z)为______.
题型:浦东新区二模
难度:
|
查看答案
已知定点A(-3,0),两动点B、C分别在y轴和x轴上运动,且满足
AB
•
BC
=0,
CQ
=2
BC
,
(1)求动点Q的轨迹E的方程;
(2)过点G(0,1)的直线l与轨迹E在x轴上部分交于M、N两点,线段MN的垂直平分线与x轴交于D点,求D点横坐标的取值范围.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点(0,
5
),离心率为
6
6
,左、右焦点分别为F
1
和F
2
.
(1)求椭圆方程;
(2)点M在椭圆上,求△MF
1
F
2
面积的最大值;
(3)试探究椭圆上是否存在一点P,使
P
F
1
•
P
F
2
=0
,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:顺德区模拟
难度:
|
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在直角坐标平面内,已知
a
=(x+2,y),
b
=(x-2,y)
,若
|
a
|-|
b
|=2
,则点P(x,y)所在曲线的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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