设平面向量a,b满足|a|=|b|=1,a•b=0,x=a+(t2-k)b,y=-sa+tb,其中,k,t,s∈R.(1)若x⊥y,求函数关系式s=f(t);(
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设平面向量a,b满足|a|=|b|=1,a•b=0,x=a+(t2-k)b,y=-sa+tb,其中,k,t,s∈R.(1)若x⊥y,求函数关系式s=f(t);(
题型:不详
难度:
来源:
设平面向量
a
,
b
满足
|
a
|=|
b
|=1,
a
•
b
=0
,
x
=
a
+(
t
2
-k)
b
,
y
=-s
a
+t
b
,其中,k,t,s∈R.
(1)若
x
⊥
y
,求函数关系式s=f(t);
(2)在(1)的条件下,若k=3,t∈[-2,3],求s的最大值;
(3)实数k在什么范围内取值时?对该范围内的每一个确定的k值,存在唯一的实数t,使
x
•
y
=2-s
.
答案
(1)∵设平面向量
a
,
b
满足
|
a
|=|
b
|=1,
a
•
b
=0
,
又∵
x
=
a
+(
t
2
-k)
b
,
y
=-s
a
+t
b
,
当
x
⊥
y
时,
x
•
y
=0
即[
a
+(
t
2
-k)
b
]•[
-s
a
+t
b
]=0
即-S+t
3
-kt=0
故s=t
3
-kt…(4分)
(2)∵k=3,
∴s=t
3
-3t,s"=3t
2
-3,
由s"=0⇒t
1
=-1,t
2
=1,
f(t)在(-∞,-1)上递增,(-1,1)上递减,(1,+∞)递增,
又∵f(-1)=2,f(3)=18,
∴s的最大值为18 …(10分)
(3)∵
x
•
y
=2-s
,
∴-s+t
3
-kt=2-s,t
3
-2=kt,…(12分)
当t=0时,等式不成立;
当t≠0时,
k=
t
2
-
2
t
,k′=2t+
2
t
2
=
2(
t
3
+1)
t
2
=0⇒t=-1
k(t)在(-∞,-1)上递减,(-1,0)上递增,(0,+∞)递增,
结合图象可知k<3时符合要求.…(16分)
举一反三
设OABC是四面体,G
1
是△ABC的重心,G是OG
1
上一点,且OG=3GG
1
,若
OG
=x
OA
+y
OB
+z
OC
,则(x,y,z)为______.
题型:浦东新区二模
难度:
|
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已知定点A(-3,0),两动点B、C分别在y轴和x轴上运动,且满足
AB
•
BC
=0,
CQ
=2
BC
,
(1)求动点Q的轨迹E的方程;
(2)过点G(0,1)的直线l与轨迹E在x轴上部分交于M、N两点,线段MN的垂直平分线与x轴交于D点,求D点横坐标的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知中心在原点,长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点(0,
5
),离心率为
6
6
,左、右焦点分别为F
1
和F
2
.
(1)求椭圆方程;
(2)点M在椭圆上,求△MF
1
F
2
面积的最大值;
(3)试探究椭圆上是否存在一点P,使
P
F
1
•
P
F
2
=0
,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:顺德区模拟
难度:
|
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在直角坐标平面内,已知
a
=(x+2,y),
b
=(x-2,y)
,若
|
a
|-|
b
|=2
,则点P(x,y)所在曲线的方程为______.
题型:不详
难度:
|
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已知点P为双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的右支上一点,F
1
、F
2
为双曲线的左、右焦点,若
(
OP
+
O
F
2
)•
F
2
P
=0(O为坐标原点)
,且△PF
1
F
2
的面积为2ac(c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为( )
A.
2
+1
B.
2
2
+1
C.
3
+1
D.
3
2
+1
题型:孝感模拟
难度:
|
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