已知向量a=(3,-1),b=(12,32).(Ⅰ)求证:向量a⊥b;(Ⅱ)若存在不同时为零的实数k、θ和λ,使x=a+(sinθ-3λ)b,y=-k4a+si

已知向量a=(3,-1),b=(12,32).(Ⅰ)求证:向量a⊥b;(Ⅱ)若存在不同时为零的实数k、θ和λ,使x=a+(sinθ-3λ)b,y=-k4a+si

题型:怀柔区模拟难度:来源:
已知向量


a
=(


3
,-1),


b
=(
1
2


3
2
)

(Ⅰ)求证:向量


a


b

(Ⅱ)若存在不同时为零的实数k、θ和λ,使


x
=


a
+(sinθ-3λ)


b


y
=-
k
4


a
+sinθ


b
,且


x


y
,试求函数关系式k=f(θ);
(Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,求函数k=f(θ)的最小值.
答案
证明:(I)∵


a


b
=


3
×
1
2
-1×


3
2
=0



a


b

(II)由题意可得,


x


y
=0

[


a
+(sinθ-3λ)


b
]•(-
k
4


a
 +sinθ


b
)=0

结合(I)


a


b
=0
,整理可得,-
k
4


a
2
+sinθ(sinθ-3λ)


b
2
=0

∴k=sin2θ-3λsinθ
(III)由(II)可得k=sin2θ-3λsinθ=(sinθ-
2
)2-
9λ2
4

∵-1≤sinθ≤1
①当
2
≥1
λ≥
2
3
时,kmin=f(1)=1-3λ
②当
2
≤-1
,即λ≤-
2
3
时,kmin=f(-1)=1+3λ
③当-1<
2
<1
-
2
3
<λ<
2
3
时,kmin=f(
2
)=-
9
2
λ2
×
1
2
=-
9λ2
4
举一反三
平面上O,A,B三点不共线,设


OA
=


a


OB
=


b
,则△OAB的面积等于(  )
A.


|


a
|
2
|


b
|
2
-(


a


b
)
2
B.


|


a
|
2
|


b
|
2
+(


a


b
)
2
C.
1
2


|


a
|
2
|


b
|
2
-(


a


b
)
2
D.
1
2


|


a
|
2
|


b
|
2
+(


a


b
)
2
题型:辽宁难度:| 查看答案
设D、P为△ABC内的两点,且满足


AD
=
1
5
(


AB
+


AC
)


AP
=


AD
+
1
10


BC
,则
S△APD
S△ABC
=______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知


OF
=(c,0)(c>0),


OG
=(n,n)(n∈R),|


FG
|的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:
①|


PF
|=
c
a
|


PE
|(a>c>0);


PE


OF
 (其中


OE
=(
a2
c
,t),λ≠0,t∈R);
③动点P的轨迹C经过点B(0,-1).
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求曲线C的方程;
(Ⅲ)是否存在方向向量为a=(1,k)(k≠0)的直线l,使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且|


BM
|=|


BN
|?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
已知点M(0,1)、A(1,1)、B(0,2),且


MP
=cosθ•


MA
+sinθ•


MB
(θ∈R)

(I)求点P的轨迹方程;
(II)求过Q(1,3)与(1)中轨迹相切的直线方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知


a
=(1,2)


b
=(-3,2)


x
=k


a
+


b


y
=


a
-3


b

(1)当k为何值时,


x


y

(2)若


x


y
的夹角为钝角,求实数k的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
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