已知OF=(c,0)(c>0),OG=(n,n)(n∈R),|FG|的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:①|PF|=ca|PE|(a>c>0);②PE=
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已知OF=(c,0)(c>0),OG=(n,n)(n∈R),|FG|的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:①|PF|=ca|PE|(a>c>0);②PE=
题型:不详
难度:
来源:
已知
OF
=(c,0)(c>0),
OG
=(n,n)(n∈R),|
FG
|的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:
①|
PF
|=
c
a
|
PE
|(a>c>0);
②
PE
=λ
OF
(其中
OE
=(
a
2
c
,t),λ≠0,t∈R);
③动点P的轨迹C经过点B(0,-1).
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求曲线C的方程;
(Ⅲ)是否存在方向向量为a=(1,k)(k≠0)的直线l,使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且|
BM
|=|
BN
|?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ):|
FG
|=
(n-c)
2
+
n
2
=
2
(n-
c
2
)
2
+
c
2
2
,
当n=
c
2
时,|
FG
|
min
=
c
2
2
=1,所以c=
2
.(3分)
(Ⅱ)∵
PE
=λ
OF
(λ≠0),∴PE⊥直线x=
a
2
c
,又|
PF
|=
c
a
|
PE
|(a>c>0).
∴点P在以F为焦点,x=
a
2
c
为准线的椭圆上.(5分)
设P(x,y),则有
(x-
2
)
2
+
y
2
=
2
a
|
a
2
2
-x|,点B(0-1)代入,解得a=
3
.
∴曲线C的方程为
x
2
3
+y
2
=1 (7分)
(Ⅲ)假设存在方向向量为a
0
=(1,k)(k≠0)的直线l满足条件,则可设l:y=kx+m(k≠0),
与椭圆
x
2
3
+y
2
=1联立,消去y得(1+3k
2
)x
2
+6kmx+3m
2
-3=0.(10分)
由判别式△>0,可得m
2
<3k
2
+1.①
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),MN的中点P(x
0
,y
0
),由|BM|=|BN|,则有BP⊥MN.
由韦达定理代入k
BP
=-
1
k
,可得到m=
1+3
k
2
2
②
联立①②,可得到 k
2
-1<0,(12分)
∵k≠0,∴-1<k<0或0<k1.
即存在k∈(-1,0)∪(0,1),使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且|
BM
|=|
BN
|.(14分)z
举一反三
已知点M(0,1)、A(1,1)、B(0,2),且
MP
=cosθ•
MA
+sinθ•
MB
(θ∈R)
.
(I)求点P的轨迹方程;
(II)求过Q(1,3)与(1)中轨迹相切的直线方程.
题型:不详
难度:
|
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已知
a
=(1,2)
,
b
=(-3,2)
,
x
=k
a
+
b
,
y
=
a
-3
b
.
(1)当k为何值时,
x
⊥
y
;
(2)若
x
与
y
的夹角为钝角,求实数k的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2,设点P,Q满足
AP
=λ
AB
,
AQ
=(1-λ)
AC
,λ∈R
,若
BQ
•
CP
=-2
,则λ=______.
题型:河东区二模
难度:
|
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在△ABC中,已知
AB
•
CA
=
15
2
, |
AB
|=3, |
AC
|=5, 则∠BAC
=______.
题型:不详
难度:
|
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已知A、B是直线l同侧的两个定点,且到l的距离分别为3和2,点P是直线l上的一个动点,则
|
PA
+3
PB
|
的最小值是______.
题型:不详
难度:
|
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