已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1),其左、右焦点分别为F1,F2,且F1P•F2P=-6.(1)求椭圆E的方程;(2)若M,N是直
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已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点P(3,1),其左、右焦点分别为F1,F2,且F1P•F2P=-6.(1)求椭圆E的方程;(2)若M,N是直
题型:卢湾区二模
难度:
来源:
已知椭圆E:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)过点P(3,1),其左、右焦点分别为F
1
,F
2
,且
F
1
P
•
F
2
P
=-6
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若M,N是直线x=5上的两个动点,且F
1
M⊥F
2
N,圆C是以MN为直径的圆,其面积为S,求S的最小值以及当S取最小值时圆C的方程.
答案
(1)设点F
1
,F
2
的坐标分别为(-c,0),(c,0)(c>0),
则
F
1
P
=(3+c,1),
F
2
P
=(3-c,1)
,
故
F
1
P
•
F
2
P
=(3+c)(3-c)+1=10-
c
2
=-6
,可得c=4,
所以
2a=|P
F
1
|+|P
F
2
|=
(3+4)
2
+
1
2
+
(3-4)
2
+
1
2
=6
2
,
故
a=3
2
,
b
2
=
a
2
-
c
2
=18-16=2
,
所以椭圆E的方程为
x
2
18
+
y
2
2
=1
.
(2)设M,N的坐标分别为(5,m),(5,n),
则
F
1
M
=(9,m),
F
2
N
=(1,n)
,又
F
1
M
⊥
F
2
N
,
可得
F
1
M
•
F
2
N
=9+mn=0
,即mn=-9,
又
|MN|=|m-n|=|m|+|n|≥2
|m|•|n|
=2
9
=6
,(当且仅当|m|=|n|时取等号)
故
S
min
=π(
6
2
)
2
=9π
,且当S取最小值时,
有m=3,n=-3或m=-3,n=3,
此时圆C的方程为(x-5)
2
+y
2
=9.
举一反三
已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4),B(0,0),C(c,0 )
(1)若c=5,求sin∠A的值;
(2)若∠A是钝角,求c的取值范围.
题型:广东
难度:
|
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在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为A(0,-l),B(0,1),平面内两点G,M同时满足:①
OC
=3
OG
(O为坐标原点);②
|
MA
|=|
MB
|=|
MC
|
;③
GM
∥
AB
.
(1)求顶点C的轨迹E的方程;
(2)直线l:y=x+t与曲线E交于P,Q两点,求四边形PAQB面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知向量集合M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={b|b=(-2,-2)+λ(4,5),λ∈R},则M∩N=______.
题型:不详
难度:
|
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设向量
a
=(0,1),
b
=(
1
2
,
1
2
)
,则下列结论中不正确的是( )
A.
|
b
|=
2
2
B.
<
a
,
b
>=
π
4
C.
a
+
b
与
b
平行
D.
a
-
b
与
b
垂直
题型:不详
难度:
|
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在边长为1的等边△ABC中,设
BC
=
a
,
CA
=
b
,则
a
•
b
=( )
A.
-
1
2
B.
1
2
C.
-
3
2
D.
3
2
题型:不详
难度:
|
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